Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 11 класс

Внутри треугольника выбрана точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны треугольника, равны 1, 2 и 3.
   а) Может ли радиус вписанной в треугольник окружности быть равен 1,5?
   б) Может ли радиус вписанной в треугольник окружности быть равен 1,51?

Комментарий/решение

11 сынып

Шешуі:

а) АВС үшбұрышының қабырғалары АВ = x, BC = y, AC = z болсын

x; y; z $\mathrm{>}$ 0

1) Үшбұрыштың таңдалған ішкі нүктесіне қатысты оның ауданы

S = $\frac{x}{2}$ + $\frac{2y}{2}$ + $\frac{3z}{2}$}

2) Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусына байланысты оның ауданы

S = $\frac{1,5x}{2}$ + $\frac{1,5y}{2}$ + $\frac{1,5z}{2}$

3) $\frac{1}{2}x+y+\frac{3}{2}z=\ \frac{3}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}z$

Бұдан $x-y=3z$

4) Герон формуласы бойынша үшбұрыштың ауданы

S = $\sqrt{\frac{{\left((x+y\right)}^2-z^2)*(z^2-{\left(x-y\right)}^2)}{16}}$ = $\sqrt{-2\left(y+z\right)\left(y+2z\right)z^2}$

$-2\left(y+z\right)\left(y+2z\right)z^2$ $\mathrm{<}$ 0, ендеше үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы 1,5 -- ке тең болуы мүмкін емес

Жауабы: Mүмкін емес

б) x $\mathrm{-}$ $\frac{49}{51}y=\ \frac{149}{51}z$

$\mathrm{-}$ $\frac{49\ }{\ 51}\ $(y + 2z)$\mathrm{<}$0

Жауабы: Mүмкін емес