Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 9 класс
б) √x+20+√y+25=√xy+2025 теңдеуінің x, y бүтін сандарда шешімі бар ма?
Комментарий/решение:
а) Из условия следует
√x+√y−√xy=0
Значит √x+√y−√xy−1=−1
Раскроем скобки (√x−1)(√y−1) и получим (√x−1)(√y−1)=−√x−√y+√xy+1
Объединив все это
−(√x−1)(√y−1)=√x+√y−√xy−1=−1
Значит (√x−1)(√y−1)=1
А единицу можно получить только если 1×1 или −1×−1
Отсюда ответы
x=y=0 и x=y=4
б) Ответ: Да, разрешимо. Пример: x=1580;y=0
a) √x+√y−√xy=0
√x+√y−√xy−1=−1
(√x−1)(1−√y)=−1
Очевидно что −1=−1⋅1 и −1=1⋅−1 ,отсюда
x=y=0 и x=y=4
Ответ: x=y=2±2
b) Допустим что y=0 , тогда:
√x+20+√25=√2025
√x+20=45−5=40
x=1580 ; y=0
Ответ: Да
a) √x +√y = √xy
√x=√xy - √y
√x=√y(√x - 1) (возведем в квадрат и выразим y)
y = x/(√x-1)² ОДЗ: х≠1
Т.к нам нужно решить в целых x,y =>√х=n; x=n² (n²=4,9,16,...,)
Подставив заметим, что единственный подходящий для нас х это 4 и y=4. Для n>2 значения y становятся дробными т.к (n - 1)² >1 что недопустимо для целого y.
Рассмотрим случай при х=0: y= 0/(√0-1)² у=0 (этот ответ нам подходит
Ответ:(0;0) (4;4)
б) \sqrt{х+20} + \sqrt{y+25} = \sqrt{xy+2025}
Заметим что √2025 = 45 и при у=0 получим:
\sqrt{х+20} + \sqrt{25} = 45
\sqrt{x+20} + 5 = 45
\sqrt{x+20} = 40 => x=1580
Ответ: Да, например при (1580;0)
a) Возьмём:
√x=a ; √y=b, то есть a2=x и b2=y.
Тогда выходит: a+b=ab, то есть ab−a−b=0.
Значит: ab−a−b+1=1.
Что равно: (a−1)(b−1)=1.
Докажем что a и b рациональные целые числа , возьмём то что если бы a,b иррационал,в таком случае (a−1) , (b−1) тоже , но при умножение двух иррациональных чисел не может выйти 1 ,а целые они потому что раз они корни целых чисел, являясь рациональными в таком случае они не могут быть не целыми.
С этого мы доказали что a и b целые рациональные числа.
В таком случае:
(a−1)(b−1)=1 это возможно лишь в случае ⇒ a−1=b−1 ⇒ a=b.(то и x=y)
Тогда:
(a-1)×(a-1)=(a-1)²=1.
(a-1)²=a²-2a+1=1 \Rightarrow a²-2a=0.
Тогда по Дискриминанту :
a_1=\frac{-(-2)+\sqrt{2²}}{2}=\frac{2+2}{2}=2,
a_2=\frac{-(-2)-\sqrt{2^2}}{2}=\frac{2-2}{2}=0.
Так как: a=\sqrt{x} то:
1) a_1=2=\sqrt{x_1}, a^2=4=\sqrt{x_1}^2=x_1.
2) a_2=0=\sqrt{x_2}, a_2^2=0=\sqrt{x_2}^2=x_2.
И если известно что x=y,
То ответ: x_1=y_1=4 и x_2=y_2=0.
b) в \sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025} очевидно видно что есть квадраты целых чисел 25 и 2025 Тогда чтобы превратить их в целое число, допустим взять y=0 ,то у нас выходит:
\sqrt{x+20}+\sqrt{25}=\sqrt{2025}
\sqrt{x+20}+5=45 \Rightarrow \sqrt{x+20}=45-5,
\sqrt{x+20}=40.
Возведем в квадрат:
\sqrt{x+20}^2=40^2 \Rightarrow x+20=1600. Тогда:
x=1600-20=1580.
Значит: x=1580 ;y=0.
Проверим:
\sqrt{1580+20}+\sqrt{0+25}=\sqrt{0+2025}.
\sqrt{1600}+\sqrt{25}=\sqrt{2025}.
40+5=45.
Из этого выходит что:
Ответ:Да ,уравнение в целых числах x,y разрешимо.
Восьмая строка неверна: \sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}=1
\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}
\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}
\sqrt{x} + \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}} \Rightarrow \sqrt{x} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}
\sqrt{x} + \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}} \Rightarrow \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}
\sqrt{x} = \sqrt{y} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{x} = x x = 0 or 2 = \sqrt{x} x = 4
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.