Processing math: 48%

Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 9 класс


а) x+y=xy теңдеуін x, y бүтін сандарда шешіңіз.
   б) x+20+y+25=xy+2025 теңдеуінің x, y бүтін сандарда шешімі бар ма?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 месяца 29 дней назад #

а) Из условия следует

x+yxy=0

Значит x+yxy1=1

Раскроем скобки (x1)(y1) и получим (x1)(y1)=xy+xy+1

Объединив все это

(x1)(y1)=x+yxy1=1

Значит (x1)(y1)=1

А единицу можно получить только если 1×1 или 1×1

Отсюда ответы

x=y=0 и x=y=4

б) Ответ: Да, разрешимо. Пример: x=1580;y=0

пред. Правка 3   2
3 месяца 28 дней назад #

a) x+yxy=0

x+yxy1=1

(x1)(1y)=1

Очевидно что 1=11 и 1=11 ,отсюда

x=y=0 и x=y=4

Ответ: x=y=2±2

b) Допустим что y=0 , тогда:

x+20+25=2025

x+20=455=40

x=1580 ; y=0

Ответ: Да

  0
3 месяца 18 дней назад #

a) √x +√y = √xy

√x=√xy - √y

√x=√y(√x - 1) (возведем в квадрат и выразим y)

y = x/(√x-1)² ОДЗ: х≠1

Т.к нам нужно решить в целых x,y =>√х=n; x=n² (n²=4,9,16,...,)

Подставив заметим, что единственный подходящий для нас х это 4 и y=4. Для n>2 значения y становятся дробными т.к (n - 1)² >1 что недопустимо для целого y.

Рассмотрим случай при х=0: y= 0/(√0-1)² у=0 (этот ответ нам подходит

Ответ:(0;0) (4;4)

б) \sqrt{х+20} + \sqrt{y+25} = \sqrt{xy+2025}

Заметим что √2025 = 45 и при у=0 получим:

\sqrt{х+20} + \sqrt{25} = 45

\sqrt{x+20} + 5 = 45

\sqrt{x+20} = 40 => x=1580

Ответ: Да, например при (1580;0)

  1
3 месяца 14 дней назад #

Если x;y целые, это ещё не значит, что они полный квадрат.

  4
3 месяца 17 дней назад #

a) Возьмём:

x=a ; y=b, то есть a2=x и b2=y.

Тогда выходит: a+b=ab, то есть abab=0.

Значит: abab+1=1.

Что равно: (a1)(b1)=1.

Докажем что a и b рациональные целые числа , возьмём то что если бы a,b иррационал,в таком случае (a1) , (b1) тоже , но при умножение двух иррациональных чисел не может выйти 1 ,а целые они потому что раз они корни целых чисел, являясь рациональными в таком случае они не могут быть не целыми.

С этого мы доказали что a и b целые рациональные числа.

В таком случае:

(a1)(b1)=1 это возможно лишь в случае a1=b1 a=b.(то и x=y)

Тогда:

(a-1)×(a-1)=(a-1)²=1.

(a-1)²=a²-2a+1=1 \Rightarrow a²-2a=0.

Тогда по Дискриминанту :

a_1=\frac{-(-2)+\sqrt{2²}}{2}=\frac{2+2}{2}=2,

a_2=\frac{-(-2)-\sqrt{2^2}}{2}=\frac{2-2}{2}=0.

Так как: a=\sqrt{x} то:

1) a_1=2=\sqrt{x_1}, a^2=4=\sqrt{x_1}^2=x_1.

2) a_2=0=\sqrt{x_2}, a_2^2=0=\sqrt{x_2}^2=x_2.

И если известно что x=y,

То ответ: x_1=y_1=4 и x_2=y_2=0.

b) в \sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025} очевидно видно что есть квадраты целых чисел 25 и 2025 Тогда чтобы превратить их в целое число, допустим взять y=0 ,то у нас выходит:

\sqrt{x+20}+\sqrt{25}=\sqrt{2025}

\sqrt{x+20}+5=45 \Rightarrow \sqrt{x+20}=45-5,

\sqrt{x+20}=40.

Возведем в квадрат:

\sqrt{x+20}^2=40^2 \Rightarrow x+20=1600. Тогда:

x=1600-20=1580.

Значит: x=1580 ;y=0.

Проверим:

\sqrt{1580+20}+\sqrt{0+25}=\sqrt{0+2025}.

\sqrt{1600}+\sqrt{25}=\sqrt{2025}.

40+5=45.

Из этого выходит что:

Ответ:Да ,уравнение в целых числах x,y разрешимо.

  1
3 месяца 14 дней назад #

Восьмая строка неверна: \sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}=1

  4
3 месяца 5 дней назад #

\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}

\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}

\sqrt{x} + \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}} \Rightarrow \sqrt{x} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}

\sqrt{x} + \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}} \Rightarrow \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}

\sqrt{x} = \sqrt{y} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{x} = x x = 0 or 2 = \sqrt{x} x = 4