Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 9 класс

а) Решите уравнение $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ в целых числах $x$, $y$.
   б) Разрешимо ли уравнение $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ в целых числах $x$, $y$?

Комментарий/решение

а) Из условия следует

$ \sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0$

Значит $\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}-1=-1$

Раскроем скобки $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)$ и получим $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=-\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{xy} +1$

Объединив все это

$ -(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy} -1=-1$

Значит $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=1$

А единицу можно получить только если $1 \times 1$ или $-1 \times -1$

Отсюда ответы

$x=y=0$ и $x=y=4$

б) Ответ: Да, разрешимо. Пример: $x=1580;y=0$

a) $\sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{xy} = 0 $

$\sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{xy} -1 = -1 $

$(\sqrt{x} - 1)(1 - \sqrt{y}) = -1 $

Очевидно что $ -1 = -1\cdot 1 $ и $ -1 = 1\cdot -1 $ ,отсюда

$ x = y = 0$ и $x = y = 4 $

Ответ: $x = y = 2 \pm 2$

b) Допустим что $ y = 0$ , тогда:

$\sqrt{x + 20} + \sqrt{25} = \sqrt{2025}$

$\sqrt{x + 20} = 45 - 5 =40$

$ x = 1580 $ ; $y = 0$

Ответ: Да