Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 9 класс

50 шаров пронумеровали числами от 1 до 5.
   а) Можно ли разложить их в 10 коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в коробке (включая сам этот шар)?
   б) Можно ли разложить их в 9 коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в коробке (включая сам этот шар)?

Комментарий/решение

В оригинале 50 шаров пронумеровали числами от 1 до 50,но это не проблема.

Ответ:a)Нельзя ; b)можно

Решение:

a) Допустим что это возможно .Пусть в первой коробке $k_{1}$ , во второй $k_{2}$ ,

. . . , в десятой коробке $k_{10}$ шаров. Из условия следует что в коробках от 1-вого до 10-того находятся шары под номером $k_{1}$ , $k_{2}$ , . . . , $k_{10}$ соответственно.

Тогда $k_{1}$ + $k_{2}$ + $\ldots$ + $k_{10}$ $\geq$ $1 + 2 + \ldots + 10 = 55 > 50$ что невозможно потому что количество всех шаров 50.

b) Давайте приведем пример. Сначала мы помещаем в первую коробку шар с номером «1», во вторую коробку — шар с номером «2», и так далее до седьмой коробки, куда помещаем шар с номером «7». В восьмую коробку мы кладем шар с номером «8», а в последнюю коробку — шар с номером «14». Теперь в каждую коробку мы добавляем столько шаров, сколько у нее номер (то есть в коробку с номером «7» добавляем еще 6 шаров, и номера этих шаров не важны). То есть в первой коробке будет 1 шар, во второй — 2 шара, в седьмой — 7 шаров, в восьмой — 8 шаров, а в девятой — 14 шаров. Таким образом, общее количество шаров будет равно 1 + 2 + … + 7 + 8 + 14 = 36 + 14 = 50.