Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 9 класс

50 шарды 1-ден 50-ге дейінгі сандармен нөмірледі.
   а) Оларды әр қорапта шарлардың санына тең нөмірлі шар (өзін санағанда) болатындай етіп 10 қорапқа салуға бола ма?
   б) Оларды әр қорапта шарлардың санына тең нөмірлі шар (өзін санағанда) болатындай етіп 9 қорапқа салуға бола ма?

Комментарий/решение

В оригинале 50 шаров пронумеровали числами от 1 до 50,но это не проблема.

Ответ:a)Нельзя ; b)можно

Решение:

a) Допустим что это возможно .Пусть в первой коробке $k_{1}$ , во второй $k_{2}$ ,

. . . , в десятой коробке $k_{10}$ шаров. Из условия следует что в коробках от 1-вого до 10-того находятся шары под номером $k_{1}$ , $k_{2}$ , . . . , $k_{10}$ соответственно.

Тогда $k_{1}$ + $k_{2}$ + $\ldots$ + $k_{10}$ $\geq$ $1 + 2 + \ldots + 10 = 55 > 50$ что невозможно потому что количество всех шаров 50.

b) Давайте приведем пример. Сначала мы помещаем в первую коробку шар с номером «1», во вторую коробку — шар с номером «2», и так далее до седьмой коробки, куда помещаем шар с номером «7». В восьмую коробку мы кладем шар с номером «8», а в последнюю коробку — шар с номером «14». Теперь в каждую коробку мы добавляем столько шаров, сколько у нее номер (то есть в коробку с номером «7» добавляем еще 6 шаров, и номера этих шаров не важны). То есть в первой коробке будет 1 шар, во второй — 2 шара, в седьмой — 7 шаров, в восьмой — 8 шаров, а в девятой — 14 шаров. Таким образом, общее количество шаров будет равно 1 + 2 + … + 7 + 8 + 14 = 36 + 14 = 50.