Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы


ABC үшбұрышында I, IA, IC нүктелері, сәйкесінше, іштей сызылған, A-ға қарсы орналасқан іштейсырт, C-ға қарсы орналасқан іштейсырт шеңберлердің центрлері болсын. ADABC-ның биіктігі болсын. BDIC үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді BI және DIA түзулері екінші рет, сәйкесінше, P және Q нүктелерінде қияды. AP=AQ екенін дәлелдеңіз. (ABC үшбұрышында A-ға қарсы орналасқан іштейсырт шеңбер деп, BC кесіндісін және AB мен AC қабырғаларының сөзындыларын жанайтын шеңберді айтамыз.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 месяца 25 дней назад #

Заметим, что задача не симметрична (например в сравнении с другими задачами). Таким образом добавим точки R=(CDIB)CI и Q=(CDIB)DIA. Тогда нетрудно заметить, что раз BICIBC вписан, то IA - радикальный центр (CDIB),(BICIBC),(BDIC), а значит Q=Q. Таким образом нужно показать, что AP=AQ=AR, но QDB=QRB и QDC=QPC следует, что I(PQR), поэтому достаточно показать, что A - центр (PQRI). (AIDQ) вписан, так как IADIAQ=IAIIAA. (A,AIBC;I,IA)=1 и ADC=90, поэтому DA - биссектриса угла QDI и AQ=AI. QAI=180IDQ=QDB+IDC=2QDB=2QPI. Последнее равносильно утверждению теоремы о центральном и вписанном угле в окружности, поэтому A - центр (PQRI) и AP=AQ.