11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы
ABC үшбұрышында I, IA, IC нүктелері, сәйкесінше, іштей сызылған, A-ға қарсы орналасқан іштейсырт, C-ға қарсы орналасқан іштейсырт шеңберлердің центрлері болсын. AD — △ABC-ның биіктігі болсын. BDIC үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді BI және DIA түзулері екінші рет, сәйкесінше, P және Q нүктелерінде қияды. AP=AQ екенін дәлелдеңіз. (ABC үшбұрышында A-ға қарсы орналасқан іштейсырт шеңбер деп, BC кесіндісін және AB мен AC қабырғаларының сөзындыларын жанайтын шеңберді айтамыз.)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, что задача не симметрична (например в сравнении с другими задачами). Таким образом добавим точки R=(CDIB)∩CI и Q′=(CDIB)∩DIA. Тогда нетрудно заметить, что раз BICIBC вписан, то IA - радикальный центр (CDIB),(BICIBC),(BDIC), а значит Q=Q′. Таким образом нужно показать, что AP=AQ=AR, но ∠QDB=∠QRB и ∠QDC=∠QPC следует, что I∈(PQR), поэтому достаточно показать, что A - центр (PQRI). (AIDQ) вписан, так как IAD⋅IAQ=IAI⋅IAA. (A,AI∩BC;I,IA)=−1 и ∠ADC=90∘, поэтому DA - биссектриса угла QDI и AQ=AI. ∠QAI=180∘−∠IDQ=∠QDB+∠IDC=2∠QDB=2∠QPI. Последнее равносильно утверждению теоремы о центральном и вписанном угле в окружности, поэтому A - центр (PQRI) и AP=AQ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.