Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы


Іштей сызылған ABCD төртбұрышының CD қабырғасында CBP=90 болатындай P нүктесі алынған. AC және BP түзулері K нүктесінде қиылысады, және сол нүкте үшін AK=AP=AD теңдігі орындалады. H арқылы B нүктесінен AC түзуіне түсірілген перпендикуляр табанын белгілейік. APH=90 екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 месяца 27 дней назад #

Отметим такую точку E на (ABCD), что AD=AE и ED. Заметим, что по лемме о трезубце в CED на биссектрисе угла C выбрана точка K так, что KA=AE=AD, тогда верно, что K - инцентр CED. Таким образом EK(ABCD)=W - середина дуги CD, поэтому по лемме Фусса для (EKPD),(ABCD) и пар секущих EKW,DPC выходит, что KP||CW, то есть BCW=90, а значит B - середина дуги DAC. BEK=BHK=90E,B,H,K - лежат на одной окружности. Заметим, что E - симметрична P относительно AC, поэтому KHP=KHE=EBK и CAE=180EBC=90EBK, поэтому AEH=APH=90