11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы
Іштей сызылған ABCD төртбұрышының CD қабырғасында ∠CBP=90∘ болатындай P нүктесі алынған. AC және BP түзулері K нүктесінде қиылысады, және сол нүкте үшін AK=AP=AD теңдігі орындалады. H арқылы B нүктесінен AC түзуіне түсірілген перпендикуляр табанын белгілейік. ∠APH=90∘ екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Отметим такую точку E на (ABCD), что AD=AE и E≠D. Заметим, что по лемме о трезубце в △CED на биссектрисе угла C выбрана точка K так, что KA=AE=AD, тогда верно, что K - инцентр △CED. Таким образом EK∩(ABCD)=W - середина дуги CD, поэтому по лемме Фусса для (EKPD),(ABCD) и пар секущих E−K−W,D−P−C выходит, что KP||CW, то есть BCW=90∘, а значит B - середина дуги DAC. ∠BEK=∠BHK=90∘⇒E,B,H,K - лежат на одной окружности. Заметим, что E - симметрична P относительно AC, поэтому ∠KHP=∠KHE=∠EBK и ∠CAE=∠180∘−EBC=90∘−EBK, поэтому ∠AEH=∠APH=90∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.