Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, вторая лига, 9-10 классы


Дөңес ABCDE бесбұрышының CD қабырғасынан X және Y нүктелері алынған (X нүктесі Y пен C арасында жатыр). XCB, ABX, AXY, AYE және YED үшбұрыштары бір біріне ұқсас болсын (сәйкес төбелер дәл осы төбелер ретімен есептелінген). ACD және AXY үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің жанасатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
4 месяца 22 дней назад #

Заметим, что BCX=ABX=AXY=AYE=YED=β и CBX=BXA=XYA=AEY=EDY=α. Легко заметить что BCAX и AYED.

Проведем касательную прямую к окружности (AXY) через A (пусть эта прямая будет ), тогда (,AX)=α. Теперь, пусть (,AC)=b и ADC=a, тогда для решения задачи достаточно показать что эти углы равны. CAX=αb и ADE=DAY=αa.

(1)XCBABXXCAB=CBBX=XBAX

(2)ABXAXYABAX=BXXY=AXAY

(3)AYEYEDAYYE=YEED=AEYD

Из подобия ABXAYB

получим BXAB=YEAYBXAY=YEAB

что равносильно

BXAY2=YEAYAB, а из (2) можно получить

AX2=AYAB, то есть

BXAY2=YEAX2

BXAXAY=YEAYAXCXABAY=DYAEAX, где момент с заменой можно получить из (1) и (3)

Применив Ratio Lemma в треугольниках CAY и DAX, получим что:

sin(αb)sin(180αβ)=CXAYXYAC что в свою очередь из теоремы синусов в BCA равно sin(αb)sin(α+β)=ABAC, откуда AB=CXAYXY. Применив тот же самый метод в DAX, получим что AE=DYAXXY.

Из (1) можно получить CXAX=XBAB, а из (2) что AX2=AYAB. То есть, AX2AY=CXAXBXAXAY=CXBX

Из подобия XCB и YED получим BXBC=DYDE что можно представить как CXBC=DYDECXBX, где заменяя CXBX на AXAY получим CXBCAY=DYDEAX. Заметим, что мы имеем CXABAY=DYAEAX, поэтому BCDE=CXAYDYAX=ABAE. Также учитывая что AED=ABC, можно сказать что ABCAED

Отсюда, αb=αaa=b, ч.т.д.

пред. Правка 5   1
3 месяца 20 дней назад #

Если описанные окружности треугольников AXYиACDкасаются,тогда через счёт углов можно получить,что AED,ABCдолжны быть подобными.Заметим,чтоAED=ABCтогда надо доказать ,чтоAEED=ABBC

ПустьCXB=BAX=XAY=YAE=EYD=α

CBX=BXA=XYA=AEY=EDY=/beta

А теперь воспользуемся теоремой синусов на треугольники:

$\triangle AEY \Rightarrow \dfrac{AE}{ \sin \alpha + \beta}=\dfrac{AY}{\sin \beta}=\dfrac{EY}{\sin \alpha}

\triangle EDY \Rightarrow \dfrac{EY}{\sin \beta}=\dfrac{ED}{\sin \alpha}=\dfrac{DY}{\sin \alpha + \beta}

\triangle ABX \Rightarrow \dfrac{AB}{\sin \beta}=\dfrac{BX}{\sin \alpha}=\dfrac{AX}{\sin \alpha + \beta}

\triangle BCX \Rightarrow \dfrac{BC}{\sin \alpha}=\dfrac{CX}{\sin \beta}=\dfrac{BX}{\sin \alpha + \beta}$

Значит AE=$\dfrac{EY \times \sin \alpha + \beta}{\sin \alpha} ED=\dfrac{EY \times \sin \alpha}{\sin \beta}

\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{\sin \alpha + \beta \times \sin \beta}{\sin^2 \alpha}$

AB=$\dfrac{BX \times \sin \beta}{\sin \alpha} BC=\dfrac{BX \times \sin \alpha}{\sin \alpha + \beta}

\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sin \alpha + \beta \times \sin \beta}{\sin^2 \alpha}$

Значит ABBC=AEED и ч.т.д.

пред. Правка 3   3
3 месяца 20 дней назад #

Если описанные окружности треугольников AXYиACDкасаются,тогда через счёт углов можно получить,что AED,ABCдолжны быть подобными.Заметим,чтоAED=ABC тогда надо доказать ,чтоAEED=ABBC

ПустьCXB=BAX=XAY=YAE=EYD=α

CBX=BXA=XYA=AEY=EDY=β

А теперь воспользуемся теоремой синусов на треугольники:

AEYAEsinα+β=AYsinβ=EYsinα

EDYEYsinβ=EDsinα=DYsinα+β

ABXABsinβ=BXsinα=AXsinα+β

BCXBCsinα=CXsinβ=BXsinα+β

Значит AE=EY×sinα+βsinαED=EY×sinαsinβ

AEED=sinα+β×sinβsin2α

AB=BX×sinβsinαBC=BX×sinαsinα+β

ABBC=sinα+β×sinβsin2α

Значит ABBC=AEED ч.т.д.

пред. Правка 3   3
17 дней 16 часов назад #

Или это можно доказать так ABXDYE ABBX=YEEDABED=BXYE

AYEBCX AEEY=XBBCBXYE=AEBC Значить ABAE=BCED