11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, вторая лига, 9-10 классы
Комментарий/решение:
Заметим, что ∠BCX=∠ABX=∠AXY=∠AYE=∠YED=β и ∠CBX=∠BXA=∠XYA=∠AEY=∠EDY=α. Легко заметить что BC∥AX и AY∥ED.
Проведем касательную прямую к окружности (AXY) через A (пусть эта прямая будет ℓ), тогда ∠(ℓ,AX)=α. Теперь, пусть ∠(ℓ,AC)=b и ∠ADC=a, тогда для решения задачи достаточно показать что эти углы равны. ∠CAX=α−b и ∠ADE=∠DAY=α−a.
(1)△XCB≅△ABX⇒XCAB=CBBX=XBAX
(2)△ABX≅△AXY⇒ABAX=BXXY=AXAY
(3)△AYE≅△YED⇒AYYE=YEED=AEYD
Из подобия △ABX≅△AYB
получим BXAB=YEAY⇔BX∗AY=YE∗AB
что равносильно
BX∗AY2=YE∗AY∗AB, а из (2) можно получить
AX2=AY∗AB, то есть
BX∗AY2=YE∗AX2⇔
BXAX∗AY=YEAY∗AX⇔CXAB∗AY=DYAE∗AX, где момент с заменой можно получить из (1) и (3)
Применив Ratio Lemma в треугольниках CAY и DAX, получим что:
sin(α−b)sin(180−α−β)=CX∗AYXY∗AC что в свою очередь из теоремы синусов в △BCA равно sin(α−b)sin(α+β)=ABAC, откуда AB=CX∗AYXY. Применив тот же самый метод в △DAX, получим что AE=DY∗AXXY.
Из (1) можно получить CX∗AX=XB∗AB, а из (2) что AX2=AY∗AB. То есть, AX2AY=CX∗AXBX⇒AXAY=CXBX
Из подобия △XCB и △YED получим BXBC=DYDE что можно представить как CXBC=DYDE∗CXBX, где заменяя CXBX на AXAY получим CXBC∗AY=DYDE∗AX. Заметим, что мы имеем CXAB∗AY=DYAE∗AX, поэтому BCDE=CX∗AYDY∗AX=ABAE. Также учитывая что ∠AED=∠ABC, можно сказать что △ABC≅△AED
Отсюда, α−b=α−a⇔a=b, ч.т.д.
Если описанные окружности треугольников △AXYи△ACDкасаются,тогда через счёт углов можно получить,что △AED,△ABCдолжны быть подобными.Заметим,что∠AED=∠ABCтогда надо доказать ,чтоAEED=ABBC
Пусть∠CXB=∠BAX=∠XAY=∠YAE=∠EYD=α
∠CBX=∠BXA=∠XYA=∠AEY=∠EDY=/beta
А теперь воспользуемся теоремой синусов на треугольники:
$\triangle AEY \Rightarrow \dfrac{AE}{ \sin \alpha + \beta}=\dfrac{AY}{\sin \beta}=\dfrac{EY}{\sin \alpha}
\triangle EDY \Rightarrow \dfrac{EY}{\sin \beta}=\dfrac{ED}{\sin \alpha}=\dfrac{DY}{\sin \alpha + \beta}
\triangle ABX \Rightarrow \dfrac{AB}{\sin \beta}=\dfrac{BX}{\sin \alpha}=\dfrac{AX}{\sin \alpha + \beta}
\triangle BCX \Rightarrow \dfrac{BC}{\sin \alpha}=\dfrac{CX}{\sin \beta}=\dfrac{BX}{\sin \alpha + \beta}$
Значит AE=$\dfrac{EY \times \sin \alpha + \beta}{\sin \alpha} ED=\dfrac{EY \times \sin \alpha}{\sin \beta}
\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{\sin \alpha + \beta \times \sin \beta}{\sin^2 \alpha}$
AB=$\dfrac{BX \times \sin \beta}{\sin \alpha} BC=\dfrac{BX \times \sin \alpha}{\sin \alpha + \beta}
\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sin \alpha + \beta \times \sin \beta}{\sin^2 \alpha}$
Значит ABBC=AEED и ч.т.д.
Если описанные окружности треугольников △AXYи△ACDкасаются,тогда через счёт углов можно получить,что △AED,△ABCдолжны быть подобными.Заметим,что∠AED=∠ABC тогда надо доказать ,чтоAEED=ABBC
Пусть∠CXB=∠BAX=∠XAY=∠YAE=∠EYD=α
∠CBX=∠BXA=∠XYA=∠AEY=∠EDY=β
А теперь воспользуемся теоремой синусов на треугольники:
△AEY⇒AEsinα+β=AYsinβ=EYsinα
△EDY⇒EYsinβ=EDsinα=DYsinα+β
△ABX⇒ABsinβ=BXsinα=AXsinα+β
△BCX⇒BCsinα=CXsinβ=BXsinα+β
Значит AE=EY×sinα+βsinαED=EY×sinαsinβ
AEED=sinα+β×sinβsin2α
AB=BX×sinβsinαBC=BX×sinαsinα+β
ABBC=sinα+β×sinβsin2α
Значит ABBC=AEED ч.т.д.
Или это можно доказать так △ABX∼△DYE ABBX=YEED⟶AB⋅ED=BX⋅YE
△AYE∼△BCX AEEY=XBBC⟶BX⋅YE=AE⋅BC Значить ABAE=BCED
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.