Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып


Теңдеуді қанағаттандыратын барлық рационал a, b, c, d төрттіктерін табыңыздар: 8a2−3b2+5c2+16d2−10ab+42cd+18a+22b−2c−54d=42,
15a2−3b2+21c2−5d2+4ab+32cd−28a+14b−54c−52d=−22.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
6 года 3 месяца назад #

8a2−3b2+5c2+16d2−10ab+42cd+18a+22b−2c−54d=4215a2−3b2+21c2−5d2+4ab+32cd−28a+14b−54c−52d=−22

Преобразуем первое и второе уравнение

(16d+21c−27)2+16(2a−3b+7)(4a+b−5)=(19c−29)2(5d−16c+26)2+5(b−3a−1)(5a+3b−11)=(19c−29)2

выражения получаются если решить уравнения как квадратное, относительно переменной d.

Выражая d с первого и второго не обращая внимание на знак корня (в данном случае, оба положительны), приравнивая откуда

d=√(19c−29)2−16(2a−3b+7)(4a+b−5)−21c+2716

d=√(19c−29)2−5(b−3a−1)(5a+3b−11)+16c−265

5√(19c−29)2−16(2a−3b+7)(4a+b−5)−16√(19c−29)2−5(b−3a−1)(5a+3b−11)=19(19c−29)

Если 19c−29=x, (2a−3b+7)(4a+b−5)=s, (b−3a−1)(5a+3b−11)=v

5√x2−16s−16√x2−5v=19x

Откуда x=±√±38√s2+sv+v2+37s+26v√3

Отметим что √38√s2+sv+v2+37s+26v=20a−9b+13

так как √s2+sv+v2=√(13a2+3b2−23a−18b+3ab+31)2

То есть x=±20a−9b+13√3 так как x∈Q то 20a−9b+13=0 иначе x∉Q откуда c=2919, 9b−20a=13,a=9b−1320

Подставляя d=4√3⋅7b−195−21c+2716 откуда 7b−19=0 иначе d∉Q значит b=197 значит a=47 откуда d=−619.

Ответ (a,b,c,d)=(47,197,2919,−619)

Matov