Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып


ABC үшбұрышы берілген. r — үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы,ra — центрі BC қабырғасында жатып AB және AC қабырғаларын жанайтын жарты шеңбер радиусы болсын. rb және rc сандары дәл осылай анықталады. 2/r=1/ra+1/rb+1/rc теңдігін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 4 месяца назад #

Пусть I центр вписанной окружности и обозначим как p полупериметр ABC .

Очевидно, что центр окружности rc это основание биссектрисы CN. Пусть угол ACB=γ. Заметим, что rc=CNsinγ2.

Достаточно известно, что CN=2abp(pa)a+b и CI=(pc)2+r2, откуда rc=CNcosγ2=2abp(pa)a+br(pc)2+r2

rrc=(a+b)(pc)2+r22abp(pa)

Из формулы Герона и из тождества r=Sp, получим, что

r2=(pa)(pb)(pc)p

Если подставить это в уравнение rrc, получим что

rrc=a+b2p и аналогично

rra=b+c2p

rrb=c+a2p

Условие задачи эквивалентно 2=rra+rrb+rrc=2(a+b+c)2p

Что верно.