Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып
ABC үшбұрышы берілген. r — үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы,ra — центрі BC қабырғасында жатып AB және AC қабырғаларын жанайтын жарты шеңбер радиусы болсын. rb және rc сандары дәл осылай анықталады. 2/r=1/ra+1/rb+1/rc теңдігін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть I центр вписанной окружности и обозначим как p полупериметр △ABC .
Очевидно, что центр окружности rc это основание биссектрисы CN. Пусть угол ACB=γ. Заметим, что rc=CNsinγ2.
Достаточно известно, что CN=2√abp(p−a)a+b и CI=√(p−c)2+r2, откуда rc=CNcosγ2=2√abp(p−a)a+b⋅r√(p−c)2+r2⇒
rrc=(a+b)√(p−c)2+r22√abp(p−a)
Из формулы Герона и из тождества r=Sp, получим, что
r2=(p−a)(p−b)(p−c)p
Если подставить это в уравнение rrc, получим что
rrc=a+b2p и аналогично
rra=b+c2p
rrb=c+a2p
Условие задачи эквивалентно 2=rra+rrb+rrc=2(a+b+c)2p
Что верно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.