Processing math: 100%

Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып


Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық f:[0,+)[0,+) функцияларын табыңыздар:
а) x+y>0 болатын кез келген x,y[0,+) үшін f(xf(y))f(y)=f(xyx+y) теңдігі орындалады;
б) f(1)=0;
в) f(x)>0 кез келген x>1 үшін.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 8 месяца назад #

Шешуі:

Q(x,y):f(xf(y))f(y)=f(xyx+y)

1)f функциясының иньективті болады.

{Q(2x,2x):f(2xf(2x))f(2x)=f(x)Q(2y,2y):f(2yf(2y))f(2y)=f(y)f(x)=f(y)x=y

a)x(0,1)(1,+)y=xx1

Q(x,xx1):f(xf(xx1))f(xx1)=f(1)

b)f(xf(xx1))f(xx1)=f(1)=0

f(xf(xx1))f(xx1)=0

 Функцияның иньективті екенін ескерcек, мына жағдайларды қарастырамыз:

1)f(xx1)=0=f(1)xx11f(xx1)0

2)f(xf(xx1))=0=f(1)xf(xx1)=1

f(xx1)=1x

xx1=tx=tt1f(t)=t1t=11t

c)f(x)=x1x>0{(x1)x>0Df[0,)x>1

(a),(b),(c)f(x)={0,егерx[0,1)x1x,егерx[1,)

Жауабы:f(x)={0,егерx[0,1)x1x,егерx[1,)