Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып
Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық f:[0,+∞)→[0,+∞) функцияларын табыңыздар:
а) x+y>0 болатын кез келген x,y∈[0,+∞) үшін f(xf(y))⋅f(y)=f(xyx+y) теңдігі орындалады;
б) f(1)=0;
в) f(x)>0 кез келген x>1 үшін.
посмотреть в олимпиаде
а) x+y>0 болатын кез келген x,y∈[0,+∞) үшін f(xf(y))⋅f(y)=f(xyx+y) теңдігі орындалады;
б) f(1)=0;
в) f(x)>0 кез келген x>1 үшін.
Комментарий/решение:
Шешуі:
Q(x,y):f(xf(y))⋅f(y)=f(xyx+y)
1)f функциясының иньективті болады.
{Q(2x,2x):f(2xf(2x))⋅f(2x)=f(x)Q(2y,2y):f(2yf(2y))⋅f(2y)=f(y)⇒f(x)=f(y)⇔x=y
a)x∈(0,1)∪(1,+∞)⇒y=xx−1⇒
⇒Q(x,xx−1):f(xf(xx−1))⋅f(xx−1)=f(1)
b)f(xf(xx−1))⋅f(xx−1)=f(1)=0⇒
⇒f(xf(xx−1))⋅f(xx−1)=0
Функцияның иньективті екенін ескерcек, мына жағдайларды қарастырамыз:
1)f(xx−1)=0=f(1)⇒xx−1≠1⇒f(xx−1)≠0
2)f(xf(xx−1))=0=f(1)⇒xf(xx−1)=1⇒
f(xx−1)=1x
xx−1=t⇒x=tt−1⇒f(t)=t−1t=1−1t
c)f(x)=x−1x>0⇒{(x−1)x>0Df∈[0,∞)⇒x>1
(a),(b),(c)⇒f(x)={0,егерx∈[0,1)x−1x,егерx∈[1,∞)
Жауабы:f(x)={0,егерx∈[0,1)x−1x,егерx∈[1,∞)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.