7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Известно, что $\angle DBC=15^\circ$, $\angle BCD=30^\circ$. Найдите угол $ABD$.

Комментарий/решение

Ответ. 30°.

Проведем высоту $AH$ треугольника $ABC$ .Высота $AH$ падает на сторону $BC$(а если нет то противоречия)Заметим что $HD=AD=DC$.

$\angle DHC = \angle DCH = 30°$. В треугольнике $BDH$

$\angle DBH = 15°, \angle BDH = \angle DHC - \angle DBH = 30° - 15° = 15°$. Поэтому треугольник $BDH$

является равнобедренным с равными сторонами $BH = HD$. Но треугольник $AHD$ является равносторонним, поэтому

$BH = HD = HA$, то есть $ABH$ прямоугольный равнобедренный треугольник с равным углами по 45° при основаниях. Следовательно, $\angle ABD =45° - 15° = 30°.$