Processing math: 37%

7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур


Число 2024 поделили на числа 1, 2, , 1000 и получили остатки r1,r2,,r1000 соответственно. Чему равно наибольшее число среди r1,r2,,r1000?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   1
7 месяца 26 дней назад #

Пусть 2024 \equiv r_i \pmod {i}, тогда i | 2024-r_i => i\leq \frac {2024-r_i}{2}, т.к иначе i+r_i=2024, но такое невозможно т.к r_i<i; i≤1000=> i+r_i≤1999, значит неравенство выше верно. Так как r_i<i => 3r_i<2024=> r_i<\frac{2024}{3} => r_i≤674