7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

${{2}^{a}}$ санының цифрларын орындарымен ауыстыру арқылы ${{2}^{b}}$ санын алуға болатындай $a$ және $b$ түрлі натурал сандары табыла ма?

Комментарий/решение

БОО $2^a$<$2^b$, рассмотрим остатки $2^n$ по модулю 9.Заметим что $$2^{5k} \equiv 1 \pmod {9}$$ $$2^{5k+1} \equiv 2 \pmod {9}$$ $$2^{5k+2} \equiv 4 \pmod {9}$$$$2^{5k+3} \equiv 8 \pmod {9}$$$$2^{5k+4} \equiv 5 \pmod {9}$$

=> так как $2^a \equiv 2^b \pmod {9}$ и $2^a<2^b$ ,$2^b\ge2^{a+5}=2^a*16>2^a*10$=>$2^b>2^a*10$=>$2^b$ имеет больше цифр чем $2^a$ но их количество должно быть равно, противоречие.