Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Решение:
Рассмотрим функцию f(x)=n∑k=1akx+ak.
Область определения этой функции есть объединение полупрямых (−∞,−an),(−a1,+∞) и интервалов (−an,−an−1),(−an−1,−an−2),...,(−a2,−a1).
Очевидно на каждом из промежутков функция f непрерывна и монотонно убывает: от 0 до −∞ и от +∞ до 0, соответственно, на полупрямых и от ∞ до −∞
на интервалах. Следовательно, на каждом промежутке, кроме (−∞,−an) , она принимает значение ровно в одной точке.Обозначим эти точки в порядке возростания через ξ1,ξ2,...,ξn , тогда множество решении неравенства есть объединение полуинтервалов (ak,ξk],k=1,2,...,n. Числа ξ1,ξ2,...,ξn− это корни многочлена
Qn−1(x)=n∏k=1(x−ak)−n∑k=1ak∏j≠k(x−aj).
По теореме Ф. Виета их сумма равна коэффициенту при xn−1 со знаком минус:
n∑k=1ξk=2n∑k=1ak.
Следовательно сумма длин полуинтервалов равна
∑1≤k≤n(ξk−ak)=∑1≤k≤nak.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.