Loading [MathJax]/jax/output/SVG/fonts/TeX/fontdata.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 10 сынып


0<a1<<an сандары берілген. Келесі теңсіздіктің шешімі бірнеше қиылыспайтын аралықтың бірігуі болады: a1x+a1+a2x+a2++anx+an1. Сол шешмімнің ұзындықтарының қосындысын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 10 месяца назад #

Решение:

Рассмотрим функцию f(x)=nk=1akx+ak.

Область определения этой функции есть объединение полупрямых (,an),(a1,+) и интервалов (an,an1),(an1,an2),...,(a2,a1).

Очевидно на каждом из промежутков функция f непрерывна и монотонно убывает: от 0 до и от + до 0, соответственно, на полупрямых и от до

на интервалах. Следовательно, на каждом промежутке, кроме (,an) , она принимает значение ровно в одной точке.Обозначим эти точки в порядке возростания через ξ1,ξ2,...,ξn , тогда множество решении неравенства есть объединение полуинтервалов (ak,ξk],k=1,2,...,n. Числа ξ1,ξ2,...,ξn это корни многочлена

Qn1(x)=nk=1(xak)nk=1akjk(xaj).

По теореме Ф. Виета их сумма равна коэффициенту при xn1 со знаком минус:

nk=1ξk=2nk=1ak.

Следовательно сумма длин полуинтервалов равна

1kn(ξkak)=1knak.