Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2024 год

Өлшемі $100\times 100$ ұяшықты тақта берілген. Кез келген $1\le a,b\le 100$ натурал сандары үшін нөмірі $a$ болатын қатар мен нөмірі $b$ болатын бағанның қиылысындағы ұяшықты $(a,b)$ арқылы белгілейік. $k$ саны, $51\le k\le 99$ болатындай, бүтін сан. $k$-ретті Ат фигурасы деп бір ұяшыққа вертикаль немесе горизонталь бағытта, ал кейін $k$ ұяшыққа басқа бағытта жүретін фигураны айтайық, яғни ол ${(a,b)}$ ұяшығынан ${(c,d)}$ ұяшығына жүрсе, онда $({|a-c|},{|b-d|})={(1,k)}$, немесе $({|a-c|},{|b-d|})= {(k,1)}$ теңдіктері орындалады. $k$-ретті ат жүрісін ${(1,1)}$ ұяшығынан бастап бірнеше жүріс жүреді. Жүрістер тізбегі деп ${(x_0,y_0)}={(1,1)}$, ${(x_1,y_1)}$, ${(x_2,y_2)}$, $\ldots$, ${(x_n,y_n)}$ ұяшықтар тізбегін айтамыз, мұнда барлық $i=1,2,\ldots,n$, $1\le x_i,y_i\le 100$ үшін $k$-ретті ат ${(x_{i-1},y_{i-1})}$ ұяшығынан ${(x_i,y_i)}$ ұяшығына жүре алады. Бұл жағдайда әр ${(x_i,y_i)}$ ұяшығын қол жетімді ұяшық деп атаймыз. Әр $k$ саны үшін қол жетімді $L(k)$ ұяшықтар санын табыңыз.