Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Балабақшадағы жаңа жылдық шыршада Аяз ата бүлдіршіндерге көп кәмпит таратты. Шыршада 100 бүлдіршін болды, әрі олардың кез келген 66-уының кәмпиттер саны барлық кәмпит санының $50\%$-нан кем болмаған. Шыршаға қатысқан Аманжол барлық кәмпиттің ең көп дегенде неше пайызын ала алған? (Жауаптағы пайыз саны бүтін сан болуы міндетті емес.)

Комментарий/решение

Ответ: 25

Решение: Разделим 99 детей, кроме Аманжола, на три группы $A$, $B$, $C$ по 33 человека в каждой. По условию у $A$ и $B$ суммарно хотя бы $50%$% конфет, аналогично у $B$ и $C$, а также у $C$ и $A$. Сложив все это и поделив пополам, получаем, что суммарно у $A$, $B$, $C$ хотя бы $((50+50+50):2)%$ $=$ $75%$% конфет, поэтому у Аманжола - оставшиеся не более чем $25%$% конфет.

При этом у Аманжола может быть ровно $25$ % конфет, если у всех остальных детей конфет поровну, по $\frac{75}{99}$% $=$ $\frac{25}{33}$%. Ясно, что в этом случае у любых $66$ детей суммарно хотя бы $66$ $*$ $\frac{25}{33}$% $=$ $50$% конфет.