Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Нақты $a$ мен $b$ сандары үшін $a+b=ab=19$ теңдігі орындалады. $$(a^2-19a)\left(b+\frac{19}{b}\right)$$ өрнегінің мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

$$(a^2-19a)(b+\frac{19}{b})= (a^2-(a+b)a)(b+\frac{ab}{b})=(a^2-a^2-ab)(b+a)=-ab(a+b)=-19*19=-361$$

Нужно еще показать ,что такие числа существуют,но это легко

Первая скобка: a^2 -19a = a^2-a*(a+b)=a^2-a^2 -a*b=-ab=-19

Вторая скобка: b+19/b=b+ ab/b=b+a=19.

Итог: -19*19=-361. Также очевидно доказываться что существует такие действительные а и b.

Вот на латех:

$a^2 -19a = a^2-a*(a+b)=a^2-a^2 -a*b=-ab=-19;$

$b+\frac{19}{b}=b+ \frac{ab}{b}=b+a=19$

$\text{Итог:}-19*19=-361$

$\text{Также очевидно доказываться что существует такие действительные а и b.}$