Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2024 год

Докажите, что в любом шестизначном числе, делящемся на 101, можно поменять местами две цифры так, что снова получится шестизначное число, делящееся на 101 (если в числе встретились одинаковые цифры, их тоже разрешается менять местами).

Комментарий/решение

Заметим что если число делится на 101 и в наборе цифр есть одинаковые цифры то проблем с перестановкой нет(надо просто поменять одинаковые цифры местами и выйдет то же число которое делится на 101).А теперь докажем для различных цифр которые в ходят в набор нашего числа. Пусть какое то шестизначное число n=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f где a b c d e f g различные цифры. До пустим у нас получилось какое то число k которое создана перестановкой двух цифр и еще то что оно делится на 101.Это значит что разность n и k тоже делится на 101.Заметим что когда мы узнаем их разность остаются лишь коэфиценты которые равны между собой и цифры которые между ними стоят.Это юудет выглядить так hl-hy где l и y это наши цифры которые поменяли местами а h и p их коэфициенты после разности.Тогда наше это выражение должно делится на 101. А так же мы его можем представить вот так h(l-y).Так как l и y какие то цифры то их разность не делится на 101 а значит h должно делится.А это выполняется когда мы меняем в нашем числе n b и f местами ведь тогда разность наших чисел = 9999(b-f) что и в правду делится на 101.Ведь само 9999 делится на 101.Значит если в шестизначнем числе где все цифры различны то надо поменять местами вторую и последнию цифру.Ч.Т.Д.