Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

Дөңес $ABCDE$ бүсбұрышында $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$ үшбұрыштарының аудандары тең. $AC$ және $AD$ түзулері $BE$ түзуін сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде қияды. $BM = EN$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Если площади треугольников $S(ABC)=S(ABE)$ то и равны площади треугольников $S(BNC) = S(ANE)$ , так же и с треугольниками $S(AMB)=S(EMD)$ данные соотношения между площадями , можно записать как $BM \cdot AM=ME \cdot MD$ откуда $\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{ME}{BM }$ то есть треугольники $BNC, ABE$ подобны , откуда $ AE || BD $ так же и $ CE || AB $ , абсолютно таким же образом и с остальными треугольниками , в итоге получим что четырехугольники $CNED$ и $BCMD$ есть параллелограммы , значит $BM=NE=CD$ .