Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $O$ нүктесі болсын. $AO$ түзуі $BC$ қабырғасын $K$ нүктесінде қияды. $AB$ и $AC$ қабырғаларынан $KL = KB$ және $KM = KC$ шарты орындалатындай $B$ және $C$ нүктелерінен өзге сәйкесінше $L$ және $M$ нүктелері алынған. $LM$ және $BC$ параллель екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

<ALM=<ABC

<LMA=<ACB

$KCM$ үшбұрышы - тең бүйірлі

$KBL$ үшбұрышы - тең бүйірлі

$BC$II$LM$ параллель болады!

Соединим точки A и K. Тогда пусть AK пересекает LM в некой точке Q. Очевидно замечание, что $\angle LKA$=$\angle MKA$. Тогда LK/KM=LQ/QM=AL/AM*sin$\angle LAK$/sin$\angle KAM$=BK/KC=AB/AC*sin$\angle LAK$/sin$\angle KAM$. То бишь AL/AM=AB/BC, что в принципе и является признаком параллельности LM и BC.

ава имба