22-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2023 жыл

Натурал $n$ саны берілген. $2n \times 2n$ торлы шаршының әрбір ұяшығы $4n^2$ түстің біреуіне боялған (бірақ та қандай да бір түс қолданбауы мүмкін). Шаршыдағы екі ұяшықтан құралған тіктөртбұрыш фигураны домино деп айтайық. Екі ұяшығы әртүрлі түске боялған доминоны түрлі-түсті домино деп атаймыз.
   $k$ саны — шаршыдағы барлық түрлі-түсті домино саны болсын. Шаршыны толығымен домино фигураларына бөлу кезінде кем дегенде $\ell$ түрлі-түсті домино табылатындай, $\ell$ саны осындай сандардың (доминоға бөлулер кездегі) ең үлкені болсын. Шаршының барлық әртүрлі бояуларында $4\ell-k$ өрнегінің мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз. ( И. Богданов )