Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

20-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2024 год


Мұғалім оқушыларға 10 әртүрлі оң сан берді. Сергей екі саннан тұратын барлық 45 жұпты алып, әр жұптағы сандардың қосындысын есептеді. Сонда олардың ішінде өзара тең бес қосынды табылған. Петя екі саннан тұратын барлық 45 жұпты алып, әр жұптағы сандардың көбейтіндісін есептеді. Петя алған көбейтінділердің ішінде ең көп дегенде нешеуі өзара тең болуы мүмкін? ( И. Богданов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
1 года 3 месяца назад #

Обозначим наши числа как:

a1,a2,a10

Б.О.О. a1<a2<a10

ai+ajal+aj каждая пара сумм уникальна

Значит: a1+a10=a2+a9==a5+a6

Допустим k5

Тогда найдутся 5 пар такие что:

aiaj=akam

Снова использую уникальность каждой пары:

a1a10=a2a9=a5a6

(a10+a1)2=(a9+a2)2(a10+a1)24a10a1=(a9+a2)24a9a2a10a1=a9a2

Значит: k4

Пример k=4:

Лень находить но он есть :)

  13
1 года 1 месяца назад #

Лучший пример из всех участников получился у Алтынбека Ерасыла:

360239>9061>98>109>910>89>6190>239360>17215490>607921510

  2
1 года 1 месяца назад #

Легенда!!!

пред. Правка 2   6
1 года 2 месяца назад #

Шешуі: Келесі сандар тізбегін қарастырайық.

a,a+n,a+2n,...,a+8n, a+9n. a,n жатады Z

1) Қандай да бір екі көбейтінді (a+n)(a+7n)=(a+2n)(a+4n) өзара тең болсын, ендеше 2a=n, яғни a<n, n=2 болса, a=1 олай болса.

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 сандарын аламыз, мұнда 3×15=5×9.

Егер a(a+9n)=(a+n)(a+5n) болса, онда бұдан 3a=n, a<n, n=3 болса,

a=1, сондай-ақ, 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28 болады.

1×28=4×7, 4×28=7×16.

2) a(a+8n)=(a+2n)(a+3n) және a(a+9n)=(a+n)(a+6n) жағдайында керісінше, a=2n және a=3n болады, яғни a>n, n=1 болса, a=2 және a=3.

Алатын сандарымыз: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 және 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

Мысалы: 2×6=3×4.

3) a=n жағдайына тоқталайық:

a(a+5n)=(a+n)(a+2n),

a(a+7n)=(a+n)(a+3n),

a(a+9n)=(a+n)(a+4n),

(a+n)(a+5n)=(a+2n)(a+3n),

(a+n)(a+8n)=(a+2n)(a+5n),

(a+n)(a+9n)=(a+3n)(a+4n),

(a+2n)(a+7n)=(a+3n)(a+5n),

(a+2n)(a+9n)=(a+4n)(a+5n),

(a+3n)(a+9n)=(a+4n)(a+7n).

a және n кез келген натурал сан болсын, мысалы a=n=7. Сондай-ақ, 7,14,21,28,35,42,49,56,63,70 сандарын аламыз, сондай,

7×42=14×21, 7×56=14×28, 7×70=14×35, 14×42=21×28, 14×63=21×42,

14×70=28×35, 21×56=28×42, 21×70=35×42, 28×70=35×56.

4) Арифметикалық прогрессия болмайтын сандар тізбегін алайық

2,3,14,22,24,26,28,36,47,48.

2×36=3×24, 14×48=24×28. 45 көбейтіндінің ішінде ең көп дегенде белгілі бір екі көбейтінді өзара тең болуы мүмкін.

Жауабы: Әртүрлі екі санның жұбынан тұратын 45 көбейтіндінің ішінде ең көп дегенде белгілі бір екі көбейтінді өзара тең болуы мүмкін және ондай көбейтінділердің саны егер a=n болса, онда 9 – ға тең, яғни ең көп болады.

  4
1 года назад #

この問題は、2 つの n×n 行列を乗算するときに乗算の回数を通常の 8 回ではなく 7 回に減らすことができるというストラッセンの定理に関連しています。この定理を適用するには、数値を 5 つのグループに分割し、各グループの数値を掛けます。 したがって、等しい積の最大数は 5 になります。