Математикадан облыстық олимпиада, 2024 жыл, 10 сынып
Комментарий/решение:
1) Выразим площадь SLMN=SABC−(SCML+SBNL+SANM) (1) из основного свойства биссектрисы, можно получить соотношения
SCML=AC⋅BC⋅SABC(AB+BC)(AB+AC)
SAMN=AC⋅AB⋅SABC(BC+AB)(BC+AC)
SBNL=AB⋅BC⋅SABC(AC+AB)(AC+BC)
Если AB=a,BC=b,AC=c
Подставляя в (1) получается SLMN=2abc⋅SABC(a+b)(b+c)(a+c)
2) Площадь ортотреугольника находится по достаточно известной формуле SDEF=SABC(a2+b2−c2)(a2+c2−b2)(b2+c2−a2)(2abc)2
3) Выражая стороны через углы и учитывая что sin(x)>0 на 0<x<π и требуемое условие из задачи SDEF>SLMN получается
(sin(A)+sin(B))(sin(C)+sin(A))(sin(C)+sin(B))>tg(A)⋅tg(B)⋅tg(C)
Рассмотрим случаи
1. Если один из углов тупой, пусть A>90∘ тогда так как tg(x)>0 на 0<x<90∘ и tgx<0 на 90∘<x<180∘ значит тогда
(sin(A)+sin(B))(sin(C)+sin(A))(sin(C)+sin(B))>0 но в то же время tgA⋅tgB⋅tgC<0 откуда выходит выполнения неравенства.
2. Пусть все углы острые, тогда так как y=sinx функция выпукла вверх на 0<x<90∘ из того что f″, тогда по AM \geq GM или
S=(\sin(A)+\sin(B))(\sin(C)+\sin(A))(\sin(C)+\sin(B)) \leq (\dfrac{2(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C))} {3})^3 по неравенству Йенсена получается
\sin(A)+\sin(B)+\sin(C) \leq 3 \sin((\dfrac{A+B+C}{3}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}
или S \leq 3\sqrt{3}
Но в то же время tgA \cdot tgB \cdot tgC = tgA+tgB+tgC (условие которое всегда выполнятся для треугольника) функция y=tgx выпукла вниз на 0<x<90^{\circ} в этом можно убедиться проверяя условие f''(x)>0 тогда по неравенству Йенсена tgA+tgB+tgC \geq 3tg(\dfrac{A+B+C}{3}) = 3\sqrt{3}
и равенство выполняется при A=B=C=\dfrac{\pi}{3} значит
S<tgA \cdot tgB \cdot tgC противоречие.
Значит треугольник тупоугольный
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.