Processing math: 69%

Математикадан облыстық олимпиада, 2024 жыл, 10 сынып


ABC үшбұрышында AL,BM,CN биссектрисалары мен AD,BE,CF биіктіктері жүргізілген. Егер DEF үшбұрышының ауданы LMN үшбұрышының ауданынан көп болса, онда ABC үшбұрышы доғалбұрышты болатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
1 года 3 месяца назад #

1) Выразим площадь SLMN=SABC(SCML+SBNL+SANM) (1) из основного свойства биссектрисы, можно получить соотношения

SCML=ACBCSABC(AB+BC)(AB+AC)

SAMN=ACABSABC(BC+AB)(BC+AC)

SBNL=ABBCSABC(AC+AB)(AC+BC)

Если AB=a,BC=b,AC=c

Подставляя в (1) получается SLMN=2abcSABC(a+b)(b+c)(a+c)

2) Площадь ортотреугольника находится по достаточно известной формуле SDEF=SABC(a2+b2c2)(a2+c2b2)(b2+c2a2)(2abc)2

3) Выражая стороны через углы и учитывая что sin(x)>0 на 0<x<π и требуемое условие из задачи SDEF>SLMN получается

(sin(A)+sin(B))(sin(C)+sin(A))(sin(C)+sin(B))>tg(A)tg(B)tg(C)

Рассмотрим случаи

1. Если один из углов тупой, пусть A>90 тогда так как tg(x)>0 на 0<x<90 и tgx<0 на 90<x<180 значит тогда

(sin(A)+sin(B))(sin(C)+sin(A))(sin(C)+sin(B))>0 но в то же время tgAtgBtgC<0 откуда выходит выполнения неравенства.

2. Пусть все углы острые, тогда так как y=sinx функция выпукла вверх на 0<x<90 из того что f, тогда по AM \geq GM или

S=(\sin(A)+\sin(B))(\sin(C)+\sin(A))(\sin(C)+\sin(B)) \leq (\dfrac{2(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C))} {3})^3 по неравенству Йенсена получается

\sin(A)+\sin(B)+\sin(C) \leq 3 \sin((\dfrac{A+B+C}{3}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}

или S \leq 3\sqrt{3}

Но в то же время tgA \cdot tgB \cdot tgC = tgA+tgB+tgC (условие которое всегда выполнятся для треугольника) функция y=tgx выпукла вниз на 0<x<90^{\circ} в этом можно убедиться проверяя условие f''(x)>0 тогда по неравенству Йенсена tgA+tgB+tgC \geq 3tg(\dfrac{A+B+C}{3}) = 3\sqrt{3}

и равенство выполняется при A=B=C=\dfrac{\pi}{3} значит

S<tgA \cdot tgB \cdot tgC противоречие.

Значит треугольник тупоугольный