Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Пусть $S$ — множество, состоящее из $n\ge 3$ точек на плоскости, не все из которых лежат на одной прямой. Рассмотрим все отрезки с концами из $S$, на которых не лежат другие точки из $S$. Оказалось, что все такие отрезки имеют равные длины. Найдите все возможные значения $n$. ( Э. Кусдавлетов )

Комментарий/решение

Пусть n>3

Если три точки лежат на одной прямой следует что какая либо другая точка равно удалена от этих трех точек, легко заметим что невозможно.

Противном случае, берем треугольник с вершинами S.Заметим что четвертая точка центр описанный окружности этого треугольника. Так как никакие три точки не лежат не одной прямой, чтобы вершины этого треугольника имели одинаковые стороны оно должно быть правильным. Остается заметит что отрезок между центром описанный окружности и вершиной треугольника не равен сторону этого треугольника.

Значит n не больше чем 3. Тогда просто рассмотрим правильный треугольник

Хочу заметить, что случай, когда три точки лежат на одной прямой был и основной загвоздкой задачи и был основным местом решения, за что и давали баллы на олимпиаде, также во втором случае, необязательно, что четвертая точка будет центром описанной окружности треугольника. ибо она может быть и вообще вне описанной окружности некого треугольника

Ответ. n = 3.

Решение. n = 3-ке мысал ретінде, төбелері теңқабырғалы үшбұрыштың төбелері мен сәйкес келетін 3 нүктені алайык; бұл 3 нүкте есептің шартын қанағаттандырады.

Енді n > 4 деп алайық. S жиынындағы ешқандай 3 нүкте бір тузудің бойын-да жата алмайтындығын дәлелдейік. І түзуінің бойында жататын A,B,C \in S нүктелері табылсын дейік. Есептің шарты бойынша барлык нүкте бұл І түзуінде жата алмайды, сол нүктелердін ішінен I-ге ең жақын Х нүктесін қарастырайық. XA, ХВ және ХС кесінділерінің біреуінде S-тін ішіндегі басқа У нүктесі жатыр дейік. Сонда Y нуктесі I-ға Х-тан ең жақын екені анық, ал бұл Х-тін анықтамасына кайшылық. Демек ХА, ХВ, XC кесінділерінде басқа S-тін нүктелері жата алмайды. Есеп шарты бойынша ХА = ХВ = ХС = r, осыдан центрі X радиусы r болатын шеңбер І тузуін 3 нүктеде қиып өтеді, қарама-қайшылық.

S-тін кез келген 3 нүктесі бір түзудің бойында жатпайды. Кез-келген A, B, C, D /in S нүктелерін қарастырайық. Осы 4 нүктенің кез-келген 3-і теңқабырғалы үшбұрыш калыптастырғандыктан және де AB = BC = CD = DA = AC = BD болғандыктан, ABCD - ромб жоне LABC + LBCD + LCDA + LDAB = 4 • 60° = 240° < 360° екені шығады, қарама-қайшылық. Демек n > 4 болған жағдайда мұндай нүктелер табылмайды.