10-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Ұзындығы $L$-ге тең $S$ кесіндінің бойында $A_1, A_2, \dots, A_n$ нүктелері алынған. Әр $A_i$ нүктесі үшін $c_i$ арқылы центрі $A_i$-де болатын және радиусы 1-ден аспайтын дөңгелекті белгілейік. $C$ арқылы барлық $c_i$ дөңгелектерінің бірігуін белгілейік. $C$-ның периметрі $4L+8$ санынан кіші екенін дәлелдеңіз.(Дөңгелектер радиустары тең болуы міндетті емес.)

Комментарий/решение

Мы докажем оценку [вероятно, пропущено: $A$, $B$ и $C$], которая на самом деле является точной.

**Лемма 1:** Если две окружности пересекаются на плоскости, то периметр дуг, лежащих строго внутри их объединения, больше периметра окружности, которая касается обеих окружностей внутренним образом.

**Доказательство:** Вырежем сектор из центра внутренне касающейся окружности. Теперь проведём хорды, ограниченные этим сектором, на обеих окружностях. Несложно заметить, что сектор и хорда внутренне касающейся окружности образуют равнобедренный треугольник, поэтому длина хорды на большей окружности будет больше. Поскольку периметр определяется как предел суммы хорд, ограниченных множеством крошечных секторов, лемма легко следует отсюда. (Изображение ниже помогает это понять).

Теперь проведём все радикальные оси этих окружностей. Докажем по индукции, что периметр объединения множества окружностей не превышает [пропущено значение] раз объём (или длину) пространства, которое они занимают на прямой. Это очевидно получается путем неоднократного применения Леммы 1 при движении вдоль радикальных осей слева направо. Затем вы получаете вышеуказанную оценку, рассматривая максимальное расстояние, которое окружности могут занимать на прямой.