Математикадан аудандық олимпиада, 2023-2024 оқу жылы, 11 сынып

а) Теңдеудi шешiңiз $\cos(2^x) + \cos(2^{x+1} ) = 0$.
   б) Бүкiл сандар түзуiнде анықталған $f(x) = \cos(2^x) + \cos(2^{x+1})$ функциясының ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табыңыз.

Комментарий/решение

a) $\cos(2^x)+\cos(2 \cdot 2^x) = 0$

1. $\cos(2^x)+2 \cdot \cos^2(2^x)-1 = 0$

$\cos(2^x)=t $

$2t^2+t-1=0$

$(t+1)(2t-1)=0 $

$t=-1, \ t=\dfrac{1}{2}$

$\cos(2^x)=-1, \ \cos(2^x)=\dfrac{1}{2}$

$2^x = \pi+2\pi n$

$x = \log_{2}(\pi+2\pi n) , \ n \geq 0 $

2. $\cos(2^x)=\dfrac{1}{2}$

$2^x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi \cdot n$

$x = \log_{2}(\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n)$

$x_{1} = \log_{2}(-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n)$ при $n \geq 1$

$x_{2} = \log_{2}(\dfrac{\pi}{3}+2\pi n)$ при $n \geq 0$

б) Из первого $y(t) = 2t^2+t-1 = 2(t+\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{9}{8} \geq -\dfrac{9}{8}$ при $t=-\dfrac{1}{4}$

Так же $y(t) = 2t^2+t-1$ при $-1 \leq t \leq 1$ так как парабола монотонна возрастает тогда при $t=1$ функция достигает максимума $y_{max} = y(1) = 2$.

Ответ $\min = -\dfrac{9}{8}, \ \max = 2$