Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 9 класс

Существует ли треугольник с высотами
   а) 2, 3, 7?
   б) 3, 4, 6?
   Если да, то вычислите его стороны.

Комментарий/решение

а)Ответ:Нет

Положим $h_{a}=2;h_{b}=3;h_{c}=7$ где $a;b;c$-стороны треугольника так, что $h_{a}$ падает на $a$ и т.д. Тогда $S=\dfrac{h_{a}a}{2}=\dfrac{h_{b}b}{2}=\dfrac{h_{c}c}{2}$

$2a=3b=7c \Rightarrow b=\dfrac{7c}{3};a=\dfrac{7c}{2}$

По неравенству треугольников должно быть так, чтобы $a<b+c$ но $b+c=\dfrac{7c}{3}+c=\dfrac{10c}{3}=(3+\dfrac{1}{3})c<4.5c=a$ от чего получаем противоречие.

б) Ответ:Да, существует

Аналогично находим стороны через одну переменную, и уже применяем неравенство треугольников 3 раза, и там везде подойдет, от чего такой треугольник существует. Дальше легко найти стороны

Я сидел сидел и думал как решить и просто забил по итогу 14/21 забрал,не так уж сложно жду область.

хорош, но задача и вправду легкая

В пункте б найти стороны довольно просто.Мы также выражае. стороны треугольника по одной стороне и используем формулу герона.Мы выразили от стороны с,используем формулу герона,и площадь треугольника равна 3.5*с,далее квадратное уравнение, находим с и все.

Шешуі:б) $s = \frac{4a}{2} = \frac{6b}{2} = \frac{3c}{2}$.

1) $a = \frac{1}{2}s$, $b = \frac{1}{3}s$, $c = \frac{2}{3}s$, $\angle ACB = \alpha$. Үшбұрыш теңсіздігі орындалатындықтан косинустар теоремасы бойынша:

$\frac{1}{4} s^2 + \frac{1}{9} s^2 - 2\cdot \frac{1}{2} s\cdot \frac{1}{3} s\cos\alpha = \frac{4}{9} s^2$. Бұдан $cos\alpha = -\frac{1}{4}$; $\alpha < 90^\circ$ болғандықтан $cos\alpha = \frac{1}{4}$.

2) $ВН\perp AC$ биіктігін жүргізейік. $\triangle ВНC$-дан $sin\alpha = \frac{12}{s}$, $cos\alpha = \frac{\sqrt{s^2 - 144}}{s}$, сондықтан $(s^2 - 144)/s^2 = 1/16$, осыдан $s = \frac{16\sqrt{15}}{5}$.

3) $a = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{15}}{5} = \frac{8\sqrt{15}}{5}$, $b = \frac{1}{3} \cdot \frac{16\sqrt{15}}{5} = \frac{16\sqrt{15}}{15}$, $c = \frac{2}{3} \cdot \frac{16\sqrt{15}}{5} = \frac{32\sqrt{15}}{15}$.

Жауабы: $\left(\frac{8\sqrt{15}}{5}, \frac{16\sqrt{15}}{15}, \frac{32\sqrt{15}}{15}\right)$.