Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год


AD мен O нүктесі, сәйкесінше, сүйір бұрышты ABC үшбұрышының биіктігі мен сырттай сызылған шеңбер центрі. M нүктесі — OD кесіндісінің ортасы. Ob және Oc нүктелері сәйкесінше AOC және AOB үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері. Егер AO=AD болса, A, Ob, M және Oc нүктелері бір шеңберде жатқанын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
1 года 9 месяца назад #

пред. Правка 2   3
1 года 6 месяца назад #

1) Для начало отметим, пусть серединные перпендикуляры l1,l2 к AB,AC пересекают BC в точках E,F, тогда покажем что EFAObOc лежат на одной окружности, действительно BEOc=90ABC и OObOc=90ABC то есть BEOc=OObOc.

2) Из условия задачи BC касательная к окружности с радиусом AD=AO, пусть GAMBC тогда GD=GO и AGDO то есть GOAO, отметим также что FOAB лежат на одной окружности, так как AFO=ABO покажем что BEO=FOG, действительно BEO=90ABC и FOG=FOBGOB=FAB(90AOB)=BAC+ACB90=90ABC

3) Значит GO касательная к описанной окружности около FOE, то есть GO2=GFGE но GO2=GMGA то есть GFGE=GMGA то есть AMFE вписанный, но тогда и AMFEObOc вписанный.

  0
1 года 1 месяца назад #

Шешуі: OA=AD=OC=R, ABC=α, AOC=2α,

OAC=OCA=90α.

1) OAC тең бүйірлі, O төбесінен AC қабырғасына перпендикуляр жүргізейік. E нүктесі перпендикулярдың табаны болсын, сонда OEAC, OE/OC=sin(90α)OE=Rsinα, EC/OC=cos(90α)EC=Rsinα, AC=2EC, оларынан AC=2Rsinα, AB=R/sinα, BD/AD=OE/OCBD=Rctgα.

AD=AB2BD2, осынан AD=R, яғни есеп шарты орындалады.

2) М, А және Ov нүктелері бір шеңбердің бойында жататындықтан бұл шеңбердің AM доғасының OE орта перпендикулярмен қиылысу нүктесін Os деп белгілеп, одан кейін осы нүктенің OAC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі екендігін әрі OOs=COs болатындығын анықтаймыз. OOs=COs=x, OOsC дан косинустар теоремасы бойынша

x2+R22xRcosα=x2, бұдан x=R/(2cosα), ал COs=AOs өйткені Os нүктесі орта перпендикулярдың бойында жатыр, демек

OOs=COs=AOs. Олай болса, Os нүктесі шеңбердің центрі және x=R/(2cosα) шеңбердің радиусына тең болып табылады.

3)Анықтауымыз бойынша, егер OOs шеңбердің радиусы болса, онда

OOs=OEEOs болатындығын көрсетейік. AOsE ден

EOs=R24cos2αR2sin2α=Rcos2α2cosα, ендеше

OOs=RcosαRcos2α2cosα=R2cosα.

4) R = abc/4s екендігі белгілі, демек шынында да

OOs=RR2Rsinα412R2sin2α=R2cosα.

,

Сонымен, A, Ov, M және Os нүктелері бір шеңбердің бойында жатады.

д.к.о.е.