27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год
Комментарий/решение:
1) Для начало отметим, пусть серединные перпендикуляры l1,l2 к AB,AC пересекают BC в точках E,F, тогда покажем что EFAObOc лежат на одной окружности, действительно ∠BEOc=90∘−∠ABC и OObOc=90∘−∠ABC то есть ∠BEOc=∠OObOc.
2) Из условия задачи BC касательная к окружности с радиусом AD=AO, пусть G∈AM∩BC тогда GD=GO и AG⊥DO то есть GO⊥AO, отметим также что FOAB лежат на одной окружности, так как ∠AFO=∠ABO покажем что ∠BEO=∠FOG, действительно ∠BEO=90∘−∠ABC и ∠FOG=∠FOB−∠GOB=∠FAB−(90∘−∠AOB)=∠BAC+∠ACB−90∘=90∘−∠ABC
3) Значит GO касательная к описанной окружности около FOE, то есть GO2=GF⋅GE но GO2=GM⋅GA то есть GF⋅GE=GM⋅GA то есть AMFE вписанный, но тогда и AMFEObOc вписанный.
Шешуі: OA=AD=OC=R, ∠ABC=α, ∠AOC=2α,
∠OAC=∠OCA=90−α.
1) △OAC тең бүйірлі, O төбесінен AC қабырғасына перпендикуляр жүргізейік. E нүктесі перпендикулярдың табаны болсын, сонда OE⊥AC, OE/OC=sin(90−α) ⇒ OE=Rsinα, EC/OC=cos(90−α) ⇒ EC=Rsinα, AC=2EC, оларынан AC=2Rsinα, AB=R/sinα, BD/AD=OE/OC ⇒ BD=R∗ctgα.
AD=√AB2−BD2, осынан AD=R, яғни есеп шарты орындалады.
2) М, А және Ov нүктелері бір шеңбердің бойында жататындықтан бұл шеңбердің AM доғасының OE орта перпендикулярмен қиылысу нүктесін Os деп белгілеп, одан кейін осы нүктенің OAC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі екендігін әрі OOs=COs болатындығын анықтаймыз. OOs=COs=x, △OOsC дан косинустар теоремасы бойынша
x2+R2−2xRcosα=x2, бұдан x=R/(2cosα), ал COs=AOs өйткені Os нүктесі орта перпендикулярдың бойында жатыр, демек
OOs=COs=AOs. Олай болса, Os нүктесі шеңбердің центрі және x=R/(2cosα) шеңбердің радиусына тең болып табылады.
3)Анықтауымыз бойынша, егер OOs шеңбердің радиусы болса, онда
OOs=OE−EOs болатындығын көрсетейік. △AOsE ден
EOs=√R24cos2α−R2sin2α=Rcos2α2cosα, ендеше
OOs=Rcosα−Rcos2α2cosα=R2cosα.
4) R = abc/4s екендігі белгілі, демек шынында да
OOs=R⋅R⋅2Rsinα4⋅12R2sin2α=R2cosα.
,
Сонымен, A, Ov, M және Os нүктелері бір шеңбердің бойында жатады.
д.к.о.е.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.