27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год

Задача №1. Найдите все пары положительных целых чисел

$(a,b)$ таких, что

$a!+b$ и

$b!+a$ являются степенями числа

Задача №2. Для всех положительных действительных чисел

$x,y,z$ , докажите неравенство

$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$ Определите все тройки

$(x,y,z)$ для которых выполняется равенство.
комментарий/решение(6)

Задача №3. Алиса и Боб играют в следующую игру на клетчатой доске

$100\times 100$ . Ходят по очереди, игру начинает Алиса. Изначально доска пуста. На каждом ходу игроку разрешается выбрать любое целое число от

$1$ до

$100^2$ , которое еще не записано ни в одной из клеток, и записать это число в любую пустую клетку. После того, когда не останется пустых клеток на доске, Алиса вычисляет сумму чисел в каждой строке, и наибольшая из этих 100 сумм — это ее счёт. Боб вычисляет сумму чисел в каждом столбце, и наибольшая из этих 100 сумм — это его счёт. Алиса выигрывает, если ее счет больше, чем счет Боба, Боб выигрывает, если его счет больше, чем счет Алисы, в противном случае никто не выигрывает. Определите, есть ли у одного из игроков выигрышная стратегия, и если да, то у кого.
комментарий/решение(1)

Задача №4.

$AD$ и точка

$O$ — соответственно высота и центр описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ . Точка

$M$ — середина отрезка

$OD$ . Точки

$O_b$ и

$O_c$ являются центрами окружностей описанных около треугольников

$AOC$ и

$AOB$ соответственно. Известно, что

$AO=AD$ . Докажите, что точки

$A$ ,

$O_b$ ,

$M$ и

$O_c$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(3)

результаты