27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год

Задача №1. Найдите все пары положительных целых чисел $(a,b)$ таких, что $a!+b$ и $b!+a$ являются степенями числа $5$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №2. Для всех положительных действительных чисел $x,y,z$, докажите неравенство $$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$$ Определите все тройки $(x,y,z)$ для которых выполняется равенство.
комментарий/решение(6)

---

Задача №3. Алиса и Боб играют в следующую игру на клетчатой доске $100\times 100$. Ходят по очереди, игру начинает Алиса. Изначально доска пуста. На каждом ходу игроку разрешается выбрать любое целое число от $1$ до $100^2$, которое еще не записано ни в одной из клеток, и записать это число в любую пустую клетку. После того, когда не останется пустых клеток на доске, Алиса вычисляет сумму чисел в каждой строке, и наибольшая из этих 100 сумм — это ее счёт. Боб вычисляет сумму чисел в каждом столбце, и наибольшая из этих 100 сумм — это его счёт. Алиса выигрывает, если ее счет больше, чем счет Боба, Боб выигрывает, если его счет больше, чем счет Алисы, в противном случае никто не выигрывает. Определите, есть ли у одного из игроков выигрышная стратегия, и если да, то у кого.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. $AD$ и точка $O$ — соответственно высота и центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Точка $M$ — середина отрезка $OD$. Точки $O_b$ и $O_c$ являются центрами окружностей описанных около треугольников $AOC$ и $AOB$ соответственно. Известно, что $AO=AD$. Докажите, что точки $A$, $O_b$, $M$ и $O_c$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(3)

---