27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год
Барлық оң нақты x,y,z сандары үшін 2x2−x+y+zx+y2+z2+2y2+x−y+zx2+y+z2+2z2+x+y−zx2+y2+z≥3 теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік орындалатындай барлық (x,y,z) үштіктерді анықтаңыз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Прибавим 2 к каждой дроби.
2x2−x+y+zx+y2+z2+2+2y2+x−y+zx2+y+z2+2+2z2+x+y−zx2+y2+z+2≥9.
Вынесем общий множитель:
(2x2+x+2y2+y+2z2+z)(1y2+z2+x+1x2+z2+y+1x2+y2+z)≥9
Что верно по дробному КБШ
Точка равенства: (x,y,z)=(a,a,a−1),(a,a,a)
Зная это ab+c+bc+a+ca+b≥32
для a=2x2−x+y+z , b=2y2+x−y+z, c=2z2+x+y−z
Это можно переписать как ∑(a−b)2(c+a)(c+b)≥0
Итак, поскольку a+b,b+c,c+a>0, это верно и равенство выполняется, когда a=b=c. 2x2x+y+z=2y2+x−y+z=2z2+x+y−z x2−x=y2−y=z2−z
Отсюда ответ:(x,y,z)=(t,t,t), (t,t,1-t)$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.