Processing math: 100%

27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год


Барлық оң нақты x,y,z сандары үшін 2x2x+y+zx+y2+z2+2y2+xy+zx2+y+z2+2z2+x+yzx2+y2+z3 теңсіздігін дәлелдеңіз. Теңдік орындалатындай барлық (x,y,z) үштіктерді анықтаңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
1 года 9 месяца назад #

Прибавим 2 к каждой дроби.

2x2x+y+zx+y2+z2+2+2y2+xy+zx2+y+z2+2+2z2+x+yzx2+y2+z+29.

Вынесем общий множитель:

(2x2+x+2y2+y+2z2+z)(1y2+z2+x+1x2+z2+y+1x2+y2+z)9

Что верно по дробному КБШ

Точка равенства: (x,y,z)=(a,a,a1),(a,a,a)

  0
1 года 9 месяца назад #

Во втором ответе a0

Ещё 1a где 0a1

  1
1 года 9 месяца назад #

За эту ошибку с олимпиады кикали

  0
1 года 9 месяца назад #

Так оно и было

  0
1 года 9 месяца назад #

вас будут помнить как легенд

  0
1 года 3 месяца назад #

Зная это ab+c+bc+a+ca+b32

для a=2x2x+y+z , b=2y2+xy+z, c=2z2+x+yz

Это можно переписать как (ab)2(c+a)(c+b)0

Итак, поскольку a+b,b+c,c+a>0, это верно и равенство выполняется, когда a=b=c. 2x2x+y+z=2y2+xy+z=2z2+x+yz x2x=y2y=z2z

Отсюда ответ:(x,y,z)=(t,t,t), (t,t,1-t)$