27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год

Найдите все пары положительных целых чисел $(a,b)$ таких, что $a!+b$ и $b!+a$ являются степенями числа $5$.

Комментарий/решение

$a!+b=5^n$

$b!+a=5^{n-t}$

Б.О.О $a \geq b$

$5^n:b \in N$

$b=5^{n-m}$

$n \geq m$

$(5^{n-m})!+a=5^{n-t}$

$5^{n-t}:5^{n-m} \in N$

$a:5^{n-m} \in N$

$a=s5^{n-m}$

$s5^{n-m}!+5^{n-m}=5^n$

$5^n:5^{n-m+1} \in N (m≠0)$

$(s5^{n-m})!:5^{n-m+1} \notin N$

$5 \geq 5^{n-m}$

$b=1;5$

1)$b=1$

$a!+1=5^n$

$a!:5 \notin N$

$a=4$

2)$b=5$

$a!+5=5^n$

$a!:25 \notin N$

$9 \geq a$

$a=5$

3)$m=0$

$a!=0$

$\phi$

$(a,b)=(4,1);(1,4);(5,5)$

Ответ: $(a;b)=(1;4);(4;1);(5;5)$

Б.О.О.(Без ограничения общности)$a≥b$

$a+b!=5^m$

$a!+b=5^k$

Если $a≥5 $ $\Rightarrow$ $ {5} \mid{a!} $ $\Rightarrow$

${5} \mid {b} $ $\Rightarrow$ $b≥5$

Пусть $b=5^n×l$ где ${5}\nmid{l}$

$5^n(\dfrac{a!}{5^n}+l)=5^k$

$\dfrac{a!}{5^n}+l=5^{k-n}$

Поймем , что $V_{5}(a!)≥V_{5}(b)$ (т.е. кол-во $5$ в составе $a!$ больше или равно к кол-ву $5$ в составе $b$ ,потому что $a!=a×(a-1)×.....×b×.....1$)

Если $V_{5}(a!)>V_{5}(b)$ , то ${5}\mid{\dfrac{a!}{5^n}}$

Но ${5}\nmid{l} \Rightarrow$

${5}\nmid{5^{k-n} }\Rightarrow k-n≤0$ значит $5^{k-n}≤1$ но $\dfrac{a!}{5^n}≥5>1$ Противоречие.

Теперь $V_{5}(a!)=V_{5}(b)$

Равенство выполняется тогда , и только тогда, когда в промежутке $1,2,3....b-1$ нет числа который делится на $5$ , в противном случае в составе $a!$ будет $b$ , и еще одно число меньше $b$ которое тоже делится на $5$ . Очевидно что ${5}\mid{a!}$ $\Rightarrow$ ${5}\mid{b}$ Из этого следует , что $b=5$ есть случаи когда $a=5;6;7;8;9$ перебрав , поймем что только $(a;b)=(5;5)$ подходит .

Теперь $a<5$ т.к. $a≥b$ $\Rightarrow$ $b<5$ . Разбирая случай поймем , что только $(a;b)=(1;4);(4;1)$ подходит .

1 случай)Б.O.O $a \geq b$ а так же $a,b >5$

Тогда $a!+b= b(\frac{a!}{b}+1)=5^{k}$ нo $\frac{a!}{b}+1$ дает остаток 1 при деления на 5 так что в таком случий ответов нету

2 случай) $a>5$ и $5\geq b $ очевидно что $b$ нечетный так что он 1 или 3 либо 5.Когда $b=1,3$ очевидно противоречие.Когда $b=5$ если $a>9$ противоречия потому что $a!+5= 5(\frac{a!}{5}+1)=5^{k}$ нo $\frac{a!}{5}+1$ дает остаток 1 при деления на 5 а если меньше десяти просто подбор и выйдет что нету ответов

3 случай) $5\geq a$ и $a>b $ очевидно что $b$ нечетный так что он 1 или 3.Дальше через подбор найдем что ответы $a=4$ и $b=1$

Последний случай)$a=b. a!+a=a((a-1)!+1)$ тогда ясно что $5\geq a$ и дальше через подбор выйдет что $a=b=5$

Ответ:$(a,b)=(1,4)=(4,1)=(5,5)$

$a!+b=5^x, b!+a=5^y$

Пусть $a \geq b \geq 5$

Заметим что раммотрев по моду $5$ $a,b$ делятся на $5$.Тогда:

$V_5(a!+b)=min[V_5(a!);V_5(b)]=V_5(5^x)=x$ что возможно только при $V_5(a!)=V_5(b)$ так как $V_5(a!);V_5(b) \geq 1$ отсюда $V_5(a!)= V_5(b) \geq V_5(a)$ отсюда $b$ делится на $a$ и аналогично

$a$ делится на $b$. =>> $a=b$ =>> $(a,b)=(5,5)$ а случаи $5 \geq a,b$ разбираются легко