Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2023 год

Для любых положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство $$\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}} \ge \frac{2}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c}.$$ При каких положительных $a,b,c$ неравенство превращается в равенство?

Комментарий/решение

приведя под общий знаменатель

$a^2+b^2+c^2 \geq 2bc+2ac-2ab$

$(a+b)^2+c^2 - 2c(a+b) \geq 0$

$(a+b-c)^2 \geq 0$

Равенство при $a+b=c$