Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

Сколько существует перестановок $(a_1,a_2,\ldots, a_8)$ чисел $(1,2,\ldots,8)$, для которых выполнено равенство $a_1+a_3+a_5+a_7=a_2+a_4+a_6+a_8?$

Комментарий/решение

Заметим в $a_1+a_3+a_5+a_7$ есть 2 нечётных и 2 чётных и сумма должна равняться 18.(вариант когда 4 нч, 0 ч или 4 ч, 0 нч не работает). Подбирая варианты, получаем нужные:

$(1)2+6+3+7=1+4+5+8$

$(2)2+4+5+7=1+3+6+8$

$(3)2+8+3+5=1+4+6+7$

$(4)4+6+5+3=1+2+7+8$

Для одной строки можно найти $24*24*2$ перестановки, для 4 же

$24*24*8=4608$. Это и ответ.