Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2023 год

Тақтада натурал сан жазылған. Петяға тақтадағы санды оның цифрларының квадраттарының қосындысына ауыстыруға рұқсат етіледі. Петя осындай операциялардың шекті санында сол тақтадағы саннан 1 санын ала алмаса, ондай санды қызықты сан деп атаймыз. Қызықты натурал сандардың саны шексіз көп екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Рассмотрим числа $2, 20, 200, 2000, ...$ и превращаем их в $2^2 + 0^2 + ...$ А значит выйдет всегда число 4. Далее:

$4\Rightarrow 16\Rightarrow 37 \Rightarrow 58\Rightarrow 89\Rightarrow 145\Rightarrow 42\Rightarrow 20\Rightarrow 4$ Вышло что опять вышла 4 а значит цикл замкнулся. Значит любое число $2, 20, 200, 2000, ...$ подходит. Доказано