Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2023 год

На доске записано натуральное число. Пете разрешено заменять имеющееся на доске число на сумму квадратов его цифр. Число назовем интересным, если из него за конечное число таких операций Петя не сможет получить единицу. Докажите, что существует бесконечно много интересных натуральных чисел.

Комментарий/решение

Рассмотрим числа $2, 20, 200, 2000, ...$ и превращаем их в $2^2 + 0^2 + ...$ А значит выйдет всегда число 4. Далее:

$4\Rightarrow 16\Rightarrow 37 \Rightarrow 58\Rightarrow 89\Rightarrow 145\Rightarrow 42\Rightarrow 20\Rightarrow 4$ Вышло что опять вышла 4 а значит цикл замкнулся. Значит любое число $2, 20, 200, 2000, ...$ подходит. Доказано