Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

Натурал санның «әр түрлі жай бөлгіштерінің жиыны» деп, оның қайталанбай алынған барлық жай бөлгіштерін айтамыз. Мысалы, 40 санының «әр түрлі жай бөлгіштерінің жиыны» ол 2 және 5 сандары. Екі $A=2^k-2$ және $B=2^k \cdot A$ сандары берілген, бұл жерде $k \ge 2$. $A+1$ және $B+1$ сандарының «әт түрлі жай бөлгіштерінің жиыны» бірдей екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$$B+1=2^k\cdot A+1=2^k(2^k-2)+1=2^{2k}-2\cdot 2^k+1=(2^k-1)^2=(A+1)^2$$

очевидно, что наборы у $А+1$ и $B+1$ одинаковы