Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

$x$, $y$, $z$ — оң сандар. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$x^2+xy^2+xyz^2 \ge 4xyz-4.$$

Комментарий/решение

$\textbf{Решение.}$ По $AM\geq GM$ имеем

$$x^2+xy^2+xyz^2+4=$$ $$=(x^2+4)+xy^2+xyz^2\geq $$ $$\geq4x+xy^2+xyz^2=$$

$$=(4x+xy^2)+xyz^2\geq 4xy+xyz^2\geq 4xyz$$

Что и требовалось доказать.

Баян https://artofproblemsolving.com/community/c6h478151p2677391

Перенесем все влево

(x^2+xy^2+xyz^2)-4xyz+4=>0 далее вынесем минус

(x^2+xy^2+xyz^2)-(4xyz-4)=>0

Теперь мы видим что если от первой скобки отнять вторую то оставшееся выражение будет больше или равно нулю а это значит что первая скобка либо больше второй либо равна что и требовалось доказать