6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Оң $x, y, z, t$ сандарының әрқайсысы 1-ден үлкен, және олар үшін $$\frac{x}{z}=\frac{y}{t}=\frac{x y+1}{z t+1}$$ теңдіктері орындалады. $x=z$ және $y=t$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

xt=zy\\

xzt+x=xyz+z \\

yzt+y=xyt+t \\

----------------

yz^2+x=x^2t+z \\

xt^2+y=y^2z+t\\

----------------

z(yz-1)=x(xt-1)\\

t(xt-1)=y(yz-1)\\

----------------

yz>1=>x=z аналогично t=y