6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур
11…1⏟n−рет44…4⏟2n−рет=x2 теңдігі орындалатындай барлық натурал n және x сандарын тап.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
это можно представить как
11111⋯11∗102n+4∗11111⋯11∗10n+4∗11111⋯11=99999⋯99∗102n+4∗99999⋯99∗10n+4∗99999⋯999=103n+4∗102n+4∗10n−102n−4∗10n−49=10n∗(10n+2)2−(10n+2)29=(10n−1)∗(10n+2)29=(10n+23)2∗(10n−1)=x2⇒10n−1=n2⇒99999⋯99=n2⇒9∗11111⋯11=n2⇒11111⋯11=(r+1)2⇒11111⋯10=r(r+2)
если r-нечет. ⇒ r+2-нечет. ⇒11111⋯10-нечет. противоречие
если r-чет. ⇒ r+2-чет. ⇒11111⋯10 делиться на 4, 10 не делиться на 4 противоречие ⇒n<2⇒n=1⇒144=x2⇒x=12
Отв: n=1; x=12
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.