Processing math: 20%

6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур


Дана квадратная таблица n×n. Арсен покрасил клетки двух главных диагоналей (идущей из левого верхнего угла в правый нижний и из правого верхнего угла в левый нижний) в синий цвет. Могло ли у него получиться ровно 2023 синих клетки?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  8
1 года 9 месяца назад #

Мы знаем что не чётные кол.во клеток на диагонали только на таблице ко с не чётными сторонами.На Таблице 3х3 их количество 5

На таблице 5x5 их количество 9 на таблице 7х7 их количество 13, и так продолжаясь можно заметить последовательность в +4.

Число 2023 \equiv 3 \pmod 4.

А все эти числа 5,9,13,17.. \equiv 1 \pmod 4

Значит на последовательности не будет числа 2023 а будет 2021 значит это не возможно.

  2
1 года 3 месяца назад #

Заметим , что если n - четное, то и кол-во клеток синего цвета будет четное, и аналогично с n - нечетное, а 2023 нечетное, значит нам подходит 2 вариант.

Заметим, что кол-во клеток синего цвета должны давать остаток 1 при делении на 4, а 2023 дает остаток 3 при делении на 4.

Противоречие