6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Өлшемі $n\times n$ болатын квадрат тақта берілген. Арсен екі диагоналдардағы (жоғарыдағы сол жақтағы ұяшықтан төменгі оң және жоғарғы оң жақтағы ұяшықтан төменгі сол жаққа қарай жүретін) барлық ұяшықтарды көк түске бояп шықты. Арсен дәл 2023 ұяшықты көк түске бояуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Мы знаем что не чётные кол.во клеток на диагонали только на таблице ко с не чётными сторонами.На Таблице 3х3 их количество 5

На таблице 5x5 их количество 9 на таблице 7х7 их количество 13, и так продолжаясь можно заметить последовательность в +4.

Число $2023 \equiv 3 \pmod 4$.

А все эти числа $5,9,13,17.. \equiv 1 \pmod 4$

Значит на последовательности не будет числа 2023 а будет 2021 значит это не возможно.

Заметим , что если $n$ - четное, то и кол-во клеток синего цвета будет четное, и аналогично с $n$ - нечетное, а 2023 нечетное, значит нам подходит 2 вариант.

Заметим, что кол-во клеток синего цвета должны давать остаток 1 при делении на 4, а 2023 дает остаток 3 при делении на 4.

Противоречие