6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

$5\times 5$ тақтасының ұяшықтарына 1-ден 25-ке дейінгі барлық натурал сандарды жазып шықты. Кез келген екі қатар келген сан қабырға бойынша екі көрші ұяшықта жазылғаны белгілі. Жолақ деп кез келген қатарды немесе бағанды атайық. Жай сандар саны ең көп жолақты қарастырайық. Осы жолақта ең көп дегенде неше жай сан болуы мүмкін?

Комментарий/решение

Вначале, рассмотрим все простые числа от 1 до 25. Это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Их количество равно 9. 9 больше 5-ти, значит, в полоске возможно есть 5 простых чисел. Давайте попробуем расставить в таблице числа так, чтобы в полоске было 5 простых чисел.

1 4 6 8 9

2 3 5 7 11

15 14 13 12 10

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Как видим, во второй строке есть 5 простых чисел. Значит, наибольшее количество простых чисел в полоске равно 5.

Хочу добавить, что приведенная мною выше таблица является лишь примером. Могут быть и другие варианты расстановки чисел в таблице, которые соответствуют условиям задачи.

вы неверно расставили числа, они должны соседствовать и с предыдущим, и с последующим числом, поэтому пример некорректный.

Верно, извиняюсь. Тогда мое решение некорректно. Еще раз извиняюсь.

Давайте решим задачу графически, но, вначале, разберемся в простых числах:

Простым четным числом может быть только 2, то есть только одно четное число может быть простым!

Разобьем таблицу на шахматную доску, то есть на белый и черный цвет.

Пусть белыми будут четные, а черные будут нечетные. Тогда подберем полоску, где будет больше черных. Это полоска состоит из трех черных и двух белых. Тогда можно с такой полоски получить 4 простых чисел! Одним из них будет точно 2.

Пример: Составьте таблицу в форме улитки, где счет начинается в центре. Тогда можно получить точно такую полоску!