6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Если $A=\frac{1}{{{2}^{2}}-1}+\frac{1}{{{3}^{2}}-1}+\frac{1}{{{4}^{2}}-1}+\ldots +\frac{1}{{{29}^{2}}-1}$, то чему равно значение выражения $870A$?

Комментарий/решение

$A=\dfrac{1}{2^2-1}+\dfrac{1}{3^2-1}+\dfrac{1}{4^2-1}+ \cdots +\dfrac{1}{29^2-1}=\dfrac{1}{(2-1)(2+1)}+\dfrac{1}{(3-1)(3+1)}+\dfrac{1}{(4-1)(4+1)}+ \cdots +\dfrac{1}{(29-1)(29+1)}=\dfrac{1}{1*3}+\dfrac{1}{2*4}+\dfrac{1}{3*5}+ \cdots +\dfrac{1}{28*30}$

Общий вид:

$\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}}{2}=\dfrac{\dfrac{x+2-x}{x(x+2)}}{2}=\dfrac{1}{x(x+2)}$

$A=\dfrac{\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}}{2}+ \cdots +\dfrac{\dfrac{1}{28}-\dfrac{1}{30}}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+ \cdots +\dfrac{1}{28}-\dfrac{1}{30}}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{30}}{2}=\dfrac{\dfrac{1+2}{2}-\dfrac{29+30}{870}}{2}=\dfrac{\dfrac{1305-59}{870}}{2}=\dfrac{1246}{870*2}=\dfrac{623}{870}$

$A=\dfrac{623}{870} \Rightarrow 870A=\dfrac{623*870}{870}=623$

Отв:623