40-я Балканская математическая олимпиада. Анталья, 2023 год
Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, которые удовлетворяют равенству
$$
x f(x+f(y))=(y-x) f(f(x))
$$
для любых $x, y \in \mathbb{R}$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$P(x,y) \Rightarrow (x,0)$
$xf(x+f(0))=-xf(f(x))$
$f(x+f(0))=-f(f(x))$ $(1)$
Для $(1):$
$x=0$
$f(f(0))=0$ $(2)$
$$$$
Допустим$:$
$f(a)=f(b)=c$
$P(x,y) \Rightarrow (x,a)$
$xf(x+c)=(a-x)f(f(a))$
$P(x,y) \Rightarrow (x,b)$
$xf(x+c)=(b-x)(f(f(b))$
$f(x+c)=0$ либо $a=b$
$x -$ может принять любое значение для $k-c$ значит$:$
$f(k)=0$
$$$$
Либо$:$
$f -$ инъективная $(3)$
$$$$
$P(x,y) \Rightarrow (x,x)$
$xf(x+f(x))=0$
$f(x+f(x))=0$
По $(2)$ и $(4):$
$x+f(x)=f(0)$
$f(x)=f(0)-x$
Подставим под изначальноеи получим$:$
$f(0)=k$
$xf(x+k-y)=(y-x)f(k-x)$
$x(y-x)=(y-x)x$
Что верно
$$$$
Ответ$:$ $f(x)=0; f(x)=k-x$
$k -$ константа
Ошибка вышла
Спасибо что указали
Как должно идти:
$$$$
Под изначальное выражение
$x=0$
$0=yf(f(0))$
Не зависимо от выбора числа $y$
Значит$:$
$f(f(0))=0$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.