40-я Балканская математическая олимпиада. Анталья, 2023 год

Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, которые удовлетворяют равенству $$x f(x+f(y))=(y-x) f(f(x))$$ для любых $x, y \in \mathbb{R}$.

Комментарий/решение

$P(x,y) \Rightarrow (x,0)$

$xf(x+f(0))=-xf(f(x))$

$f(x+f(0))=-f(f(x))$ $(1)$

Для $(1):$

$x=0$

$f(f(0))=0$ $(2)$

Допустим$:$

$f(a)=f(b)=c$

$P(x,y) \Rightarrow (x,a)$

$xf(x+c)=(a-x)f(f(a))$

$P(x,y) \Rightarrow (x,b)$

$xf(x+c)=(b-x)(f(f(b))$

$f(x+c)=0$ либо $a=b$

$x -$ может принять любое значение для $k-c$ значит$:$

$f(k)=0$

Либо$:$

$f -$ инъективная $(3)$

$P(x,y) \Rightarrow (x,x)$

$xf(x+f(x))=0$

$f(x+f(x))=0$

По $(2)$ и $(4):$

$x+f(x)=f(0)$

$f(x)=f(0)-x$

Подставим под изначальноеи получим$:$

$f(0)=k$

$xf(x+k-y)=(y-x)f(k-x)$

$x(y-x)=(y-x)x$

Что верно

Ответ$:$ $f(x)=0; f(x)=k-x$

$k -$ константа

на x сократили, далее допустили, что x=0

Ошибка вышла

Спасибо что указали

Как должно идти:

Под изначальное выражение

$x=0$

$0=yf(f(0))$

Не зависимо от выбора числа $y$

Значит$:$

$f(f(0))=0$