Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Мы найдем бесконечно много n, таких что ⌊k√an+b⌋ является простым числом, скажем p, и n удовлетворяет условию νp(n)=1 а p — наибольший простой делитель числа n. Обратите внимание, что тогда p∤φm(n) для любого положительного целого числа m, так что таким образом мы обеспечим взаимную простоту.
У нас есть ⌊k√an+b⌋=p⟺pk≤an+b<(p+1)k. Мы ищем n=pM для некоторого (M,p)=1 с простыми делителями меньше p, такого что M>pk−1, что гарантирует выполнение нижней оценки. Для верхней границы нам понадобится an+b<(p+1)k⟺p+baM<(p+1)kaM. Так как M>pk−1, то для достаточно больших p имеем b<aM, поэтому нам нужен (p+1)kaM≥p+1, следовательно, выбора aM=(p+1)k−1 будет достаточно, так как это также будет означать, что наибольший простой делитель числа n равен p. Осталось найти бесконечно много простых чисел p таких, что a∣p+1, что возможно Дирихле. Следовательно, эта конструкция работает, и мы закончили.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.