Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 8 сынып

Сегізінші сыныптың оқушысы кез келген квадратты одан кіші 10 квадратқа бөлшектей аламын дейді (кіші квадраттардың ішінде өлшемдері бірдей квадрат болуы мүмкін). Ол қателесіп тұрған жоқ па?

Комментарий/решение

Пусть площадь квадрата будет $S$. Очевидно, что любой квадрат можно разрезать на 4 равных квадрата. Поделим квадрат, тогда $S=4S_1$, где $S_1=\cfrac{1}{4}S$. Возьмем один полученный квадрат и поделим, тогда $S_1=4S_2$, где $S_2=\cfrac{1}{4}S_1$, значит $S=3S_1+4S_2$. Возьмем один полученный квадрат и поделим, тогда $S_2=4S_3$, где $S_3=\cfrac{1}{4}S_2$, значит $S=3S_1+3S_2+4S_3$.