9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, третья лига, 11-12 классы

Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB \neq AC$. Пусть $D$ --- точка на прямой $BC$ такая, что прямая $DA$ касается описанной окружности треугольника $ABC$. Пусть $E$ и $F$ --- центры описанных окружностей треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно, а $M$ --- середина отрезка $EF$. Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника $AMD$ в точке $D$ также касается описанной окружности треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Б.О.О. $AB>AC$.

$O$ - центр $(ABC)$. Пусть $X$ - точка на касательной к $(AMD)$ в точке $D$ в одной полуплоскости с $M$ относительно $AD$. Тогда раз $DA$ касается $(ABC)$ то разумно будет доказывать, что $DO$ является биссектрисой $\angle ADX$.

$(i):$

$EDFO$ - параллелограмм. Это следует из простого счета углов:

$$\angle BDF=90-\frac{\angle DFC}{2}=90-\angle DAC=90-\angle ABC \Rightarrow DF \bot AB, DF||OE.$$

$(ii):$

$$\angle XDM=\angle DAM; \angle DAO=90, DM=MO=MA \Rightarrow \angle DAM=\angle ADM.$$

То есть $DO$ является биссектрисой $\angle ADX$.