9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ одинакового радиуса пересекаются в точках $E$ и $X$. На $\omega_1$ и $\omega_2$ выбраны произвольные точки $C$ и $D$ соответственно. Прямые, проходящие через $E$ параллельно $XC$ и $XD$, пересекают $\omega_2$ и $\omega_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая $CD$ вторично пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $ABPQ$ вписанный.

Комментарий/решение

Очевидно, что $AECX$ - параллелограмм, так как $AE||CX$ и $AX=EC$ из-за равенства окружностей, так же определяется, что $DEBX$ - параллелограмм. Пусть $F$ - середина $EX$, тогда пары точек $C$ и $A$, $D$ и $B$ симметричны относительно $F$, поэтому $ABCD$ - параллелограмм и $AB||PQ$. Пусть $Q'=AB \cap \omega_1$, $P'=AB \cap \omega_2$. Тогда из-за симметрии $PQP'Q'$ - параллелограмм. Значит $PQ'=DA=CB=QP'$, тем самым $ADPQ'$ и $CBP'Q$ - симметричные относительно $F$ равнобокие трапеции, тогда $BQ=AP$, из-за чего $ABPQ$ - вписанный.